Prove as seguintes afirmações
Se
então
ou
, logo
.
Se
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A afirmação para provar é:
“Se
então
ou
, logo
.”
Aqui, estamos trabalhando com teoria de conjuntos e lógica. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa a operação “ou” (a disjunção) e o que representa o conjunto vazio
. A ideia é mostrar que, se um elemento pertence a um conjunto
, então ele necessariamente pertence a
ou ao conjunto vazio, e dessa relação, concluímos que ele pertence a
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa a expressão
. Isso quer dizer que o elemento
está contido no conjunto
.
A próxima parte é entender o “ou” na expressão
ou
. Em lógica, “ou” (
) significa que pelo menos uma das condições deve ser verdadeira.
Então,
ou
significa que
está em
, ou
está no conjunto vazio
, ou ambos.
Passo 3
Agora, vamos analisar o que é o conjunto vazio
. Por definição, o conjunto vazio não contém nenhum elemento. Ou seja, não existe nenhum
tal que
.
Isso significa que a segunda parte da disjunção,
, é sempre falsa porque não há elementos no conjunto vazio.
Passo 4
Com isso em mente, voltamos à nossa afirmação original:
“Se
então
ou
.”
Sabemos que
é verdadeiro e
é falso. Portanto, a disjunção
ou
será verdadeira se pelo menos uma das partes for verdadeira. Como
é verdadeira, a disjunção inteira também é verdadeira.
Passo 5
Finalmente, como a afirmação
já é verdadeira e isso garante que a disjunção
ou
também é verdadeira, podemos concluir que a premissa inicial nos leva diretamente a
.
Resposta
Portanto, se
, então
ou
, e isso nos leva a concluir que
.
Exercícios relacionados
Prove as seguintes afirmações
Demonstrar que : se
então
e
, logo
.
Demonstrar que
Considere a sequência
definida por
e
.
b) Mostre que , para
.
b) Mostre que
Use a integral para encontrar o volume do tronco de pirâmide como base quadrada de lado
, topo quadrada de lado
e altura
. O que acontece com se
? O que acontece se
?
Mostre que:
Se então
ou
.
Se