Prove que toda seqüência monótona convergente é limitada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente provar que toda sequência monótona convergente é limitada. Isso tá ligado ao conteúdo de Análise de Sequências. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são sequências monótonas, convergentes e limitadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma sequência monótona. Uma sequência é monótona se ela é crescente ou decrescente. Ou seja:
  • Crescente: Cada termo é maior ou igual ao anterior.
  • Decrescente: Cada termo é menor ou igual ao anterior.
Isso ajuda a gente a saber como os termos da sequência se comportam conforme avançamos.

Passo 3

Agora, vamos pensar no que significa uma sequência ser convergente. Uma sequência converge se ela se aproxima de um certo valor à medida que os termos aumentam. Esse valor é chamado de limite da sequência. Em símbolos, se uma sequência converge para , escrevemos:

Passo 4

Por último, uma sequência é limitada se existe algum número que serve como limite superior e outro como limite inferior para todos os seus termos. Ou seja, existe um tal que para todo :

Passo 5

Vamos começar a prova. Suponha que seja uma sequência monótona e convergente. Vamos dividir em dois casos: quando é crescente e quando é decrescente.
Caso 1: Sequência Crescente
Se é crescente e converge para , então para todo , temos:
Isso porque a sequência está aumentando e se aproxima de . Então, é um limite superior para .
Além disso, se a sequência é crescente, todos os termos são maiores ou iguais ao primeiro termo . Então, podemos dizer que:
Isso mostra que a sequência é limitada, já que está entre e .
Caso 2: Sequência Decrescente
Se é decrescente e converge para , então para todo , temos:
Aqui, é um limite inferior para .
Como a sequência é decrescente, todos os termos são menores ou iguais ao primeiro termo . Assim:
Novamente, a sequência está limitada entre e .

Resposta

Portanto, provamos que toda sequência monótona convergente é limitada, seja ela crescente ou decrescente.

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