Prove que toda seqüência monótona convergente é limitada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente provar que toda sequência monótona convergente é limitada. Isso tá ligado ao conteúdo de Análise de Sequências. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são sequências monótonas, convergentes e limitadas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma sequência monótona. Uma sequência é monótona se ela é crescente ou decrescente. Ou seja:
- Crescente: Cada termo é maior ou igual ao anterior.
- Decrescente: Cada termo é menor ou igual ao anterior.
Isso ajuda a gente a saber como os termos da sequência se comportam conforme avançamos.
Passo 3
Agora, vamos pensar no que significa uma sequência ser convergente. Uma sequência converge se ela se aproxima de um certo valor à medida que os termos aumentam. Esse valor é chamado de limite da sequência. Em símbolos, se uma sequência
converge para
, escrevemos:
Passo 4
Por último, uma sequência é limitada se existe algum número que serve como limite superior e outro como limite inferior para todos os seus termos. Ou seja, existe um
tal que para todo
:
Passo 5
Vamos começar a prova. Suponha que
seja uma sequência monótona e convergente. Vamos dividir em dois casos: quando é crescente e quando é decrescente.
Caso 1: Sequência Crescente
Se
é crescente e converge para
, então para todo
, temos:
Isso porque a sequência está aumentando e se aproxima de
. Então,
é um limite superior para
.
Além disso, se a sequência é crescente, todos os termos são maiores ou iguais ao primeiro termo
. Então, podemos dizer que:
Isso mostra que a sequência é limitada, já que está entre
e
.
Caso 2: Sequência Decrescente
Se
é decrescente e converge para
, então para todo
, temos:
Aqui,
é um limite inferior para
.
Como a sequência é decrescente, todos os termos são menores ou iguais ao primeiro termo
. Assim:
Novamente, a sequência está limitada entre
e
.
Resposta
Portanto, provamos que toda sequência monótona convergente é limitada, seja ela crescente ou decrescente.
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que não é limitada possui uma subseqüência
tal que
.
Prove que
é ponto de aderência de uma sequiência
se e somente se, qualquer que seja
, existem infinitos elementos da scquiiência no intervalo
. (Note que esta última afirmação não significa que os infinitos elementos sejam todos distintos, podem até ter todos o mesmo valor.)
Considere a seqüência assim definida:
para
. Escreva explicitanlente os primeiros quatro ou cinco termos dessa seqüêncra. Prove que ela é uma seqüência convergente e calcule seu limite.
Nos exercícios abaixo encontrar a derivada das funções dadas.