Prove que uma seqüência que não é limitada possui uma subseqüência tal que .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma sequência que não é limitada, ou seja, seus termos podem crescer sem limites. Precisamos provar que existe uma subsequência dessa sequência original tal que conforme tende ao infinito. Para resolver isso, vamos usar conceitos de sequências não limitadas e subsequências, além de propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência não limitada. Uma sequência não é limitada se para qualquer número , existe um termo da sequência tal que . Isso significa que os termos da sequência podem ficar arbitrariamente grandes em magnitude.

Passo 3

Como a sequência não é limitada, podemos construir uma subsequência onde os termos crescem sem limites. Escolhemos de forma que para todo . Isso garante que tende ao infinito conforme aumenta.

Passo 4

Agora, queremos analisar o limite de . Sabemos que se , então . Como pode ser positivo ou negativo, também tende a zero, já que a magnitude está diminuindo enquanto a direção se mantém.

Passo 5

Portanto, mostramos que a subsequência que escolhemos satisfaz . Isso prova que para qualquer sequência não limitada, existe uma subsequência cujo inverso tende a zero.

Resposta

Assim, concluímos que uma sequência não limitada possui uma subsequência tal que .

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