Prove que uma seqüência
que não é limitada possui uma subseqüência
tal que
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma sequência
que não é limitada, ou seja, seus termos podem crescer sem limites. Precisamos provar que existe uma subsequência
dessa sequência original tal que
conforme
tende ao infinito. Para resolver isso, vamos usar conceitos de sequências não limitadas e subsequências, além de propriedades de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência não limitada. Uma sequência
não é limitada se para qualquer número
, existe um termo da sequência
tal que
. Isso significa que os termos da sequência podem ficar arbitrariamente grandes em magnitude.
Passo 3
Como a sequência
não é limitada, podemos construir uma subsequência
onde os termos crescem sem limites. Escolhemos
de forma que
para todo
. Isso garante que
tende ao infinito conforme
aumenta.
Passo 4
Agora, queremos analisar o limite de
. Sabemos que se
, então
. Como
pode ser positivo ou negativo,
também tende a zero, já que a magnitude está diminuindo enquanto a direção se mantém.
Passo 5
Portanto, mostramos que a subsequência
que escolhemos satisfaz
. Isso prova que para qualquer sequência não limitada, existe uma subsequência cujo inverso tende a zero.
Resposta
Assim, concluímos que uma sequência
não limitada possui uma subsequência
tal que
.
Exercícios relacionados
Prove que
é ponto de aderência de uma sequiência
se e somente se, qualquer que seja
, existem infinitos elementos da scquiiência no intervalo
. (Note que esta última afirmação não significa que os infinitos elementos sejam todos distintos, podem até ter todos o mesmo valor.)
Prove que toda seqüência monótona convergente é limitada.
Considere a seqüência assim definida:
para
. Escreva explicitanlente os primeiros quatro ou cinco termos dessa seqüêncra. Prove que ela é uma seqüência convergente e calcule seu limite.