Considere a sequência an cujo termo geral é an=1n sumk=1^n 11+kn. Mostre que lim n infty an= ln (2). (Sugestão: Interprete an como uma soma de Riemann de uma integral definida.)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma sequência definida por . Nosso objetivo é mostrar que, quando tende ao infinito, se aproxima de . Para resolver isso, vamos usar o conceito de soma de Riemann, que relaciona somas discretas com integrais contínuas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão an = 1n sumk=1^n 11+kn para facilitar a análise:
Aqui, é o intervalo de uma divisão do intervalo em partes.

Passo 3

Observamos que a soma se assemelha a uma soma de Riemann para a função no intervalo . Cada termo representa um ponto nessa divisão.

Passo 4

A soma de Riemann aproxima a integral definida da função limn to infty 1n sumk=1^n f(kn) = integral0^1 11+x , dx sobre o intervalo :
Nesse caso, .

Passo 5

Agora, calculamos a integral:
integral0^1 11+x , dx = [ ln|1+x| ]0^1 = ln(2) - ln(1) = ln(2)
Sabemos que , então a integral resulta em .

Resposta

Portanto, .

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