Considere a sequência cujo termo geral é . Mostre que . (Sugestão: Interprete como uma soma de Riemann de uma integral definida.)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma sequência definida por . Nosso objetivo é mostrar que, quando tende ao infinito, se aproxima de . Para resolver isso, vamos usar o conceito de soma de Riemann, que relaciona somas discretas com integrais contínuas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão para facilitar a análise:
Aqui, é o intervalo de uma divisão do intervalo em partes.

Passo 3

Observamos que a soma se assemelha a uma soma de Riemann para a função no intervalo . Cada termo representa um ponto nessa divisão.

Passo 4

A soma de Riemann aproxima a integral definida da função sobre o intervalo :
Nesse caso, .

Passo 5

Agora, calculamos a integral:
Sabemos que , então a integral resulta em .

Resposta

Portanto, .

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Verifique a convergência ou divergência das seguintes sequências:
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Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente. ;
Escreva a equação da reta tangente à curva no ponto .
b)