Considere a sequência
cujo termo geral é
. Mostre que
. (Sugestão: Interprete
como uma soma de Riemann de uma integral definida.)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma sequência definida por
. Nosso objetivo é mostrar que, quando
tende ao infinito,
se aproxima de
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de soma de Riemann, que relaciona somas discretas com integrais contínuas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão
para facilitar a análise:
Aqui,
é o intervalo
de uma divisão do intervalo
em
partes.
Passo 3
Observamos que a soma
se assemelha a uma soma de Riemann para a função
no intervalo
. Cada termo
representa um ponto
nessa divisão.
Passo 4
A soma de Riemann aproxima a integral definida da função
sobre o intervalo
:
Nesse caso,
.
Passo 5
Agora, calculamos a integral:
Sabemos que
, então a integral resulta em
.
Resposta
Portanto,
.
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Verifique a convergência ou divergência das seguintes sequências:
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Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.
;
Escreva a equação da reta tangente à curva
no ponto
.
b)
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