Verifique a convergência ou divergência das seguintes sequências:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema pede. Temos uma sequência definida por
. Nosso objetivo é verificar se essa sequência converge (ou seja, se ela se aproxima de algum valor específico quando
cresce indefinidamente) ou diverge (não se aproxima de nenhum valor específico). Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência.
Passo 2
Vamos reescrever a sequência para facilitar a análise:
Isso é uma soma de uma progressão geométrica, onde cada termo é uma fração com base
e expoente crescente.
Passo 3
Sabemos que uma série geométrica da forma
converge se a razão
estiver entre -1 e 1 (ou seja,
). No nosso caso, a razão é
, que é aproximadamente 0,3679. Como
, a série deve convergir.
Passo 4
Para encontrar o valor para o qual a série converge, usamos a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
onde
é o primeiro termo e
é a razão. Aqui,
e
.
Passo 5
Aplicando os valores na fórmula:
Portanto, a sequência
converge para
.
Resposta
A sequência
converge para
.
Exercícios relacionados
Verifique a convergência ou divergência das seguintes sequências:
Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.
Considere a sequência
cujo termo geral é
. Mostre que
. (Sugestão: Interprete
como uma soma de Riemann de uma integral definida.)
Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.
;