Verifique a convergência ou divergência das seguintes sequências:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema pede. Temos uma sequência definida por . Nosso objetivo é verificar se essa sequência converge (ou seja, se ela se aproxima de algum valor específico quando cresce indefinidamente) ou diverge (não se aproxima de nenhum valor específico). Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência.

Passo 2

Vamos reescrever a sequência para facilitar a análise:
Isso é uma soma de uma progressão geométrica, onde cada termo é uma fração com base e expoente crescente.

Passo 3

Sabemos que uma série geométrica da forma converge se a razão estiver entre -1 e 1 (ou seja, ). No nosso caso, a razão é , que é aproximadamente 0,3679. Como , a série deve convergir.

Passo 4

Para encontrar o valor para o qual a série converge, usamos a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
onde é o primeiro termo e é a razão. Aqui, e .

Passo 5

Aplicando os valores na fórmula:
Portanto, a sequência converge para .

Resposta

A sequência converge para .

Exercícios relacionados

Verifique a convergência ou divergência das seguintes sequências:
Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.
Considere a sequência cujo termo geral é . Mostre que . (Sugestão: Interprete como uma soma de Riemann de uma integral definida.)
Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente. ;