Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente. ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente decidir se as sequências , e são convergentes ou divergentes. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades da função seno.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a sequência . A função seno oscila entre -1 e 1 para qualquer valor real da entrada. Como vai aumentando sem parar, assume todos os valores inteiros positivos, e continuará a oscilar sem se estabilizar em um único valor. Portanto, não existe um número específico que se aproxime conforme tende ao infinito.

Passo 3

Agora, vamos para a sequência . Sabemos que é uma constante e multiplicar por um número inteiro nos dá múltiplos de . A função seno tem a propriedade de que para qualquer inteiro . Então, independentemente do valor de , sempre será igual a 0.

Passo 4

Por último, vamos analisar a sequência . Vamos ver o que acontece conforme varia:
  • Se :
  • Se :
  • Se :
  • Se :
    E assim por diante, a sequência continua alternando entre 1, 0, -1, 0, etc. Isso significa que não se aproxima de um único valor à medida que aumenta.

Resposta

A sequência é divergente, a sequência é convergente com limite 0, e a sequência é divergente.

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Considere a sequência cujo termo geral é . Mostre que . (Sugestão: Interprete como uma soma de Riemann de uma integral definida.)
Verifique a convergência ou divergência das seguintes sequências:
Escreva a equação da reta tangente à curva no ponto .
b)
Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.