Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente decidir se as sequências
,
e
são convergentes ou divergentes. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades da função seno.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a sequência
. A função seno oscila entre -1 e 1 para qualquer valor real da entrada. Como
vai aumentando sem parar,
assume todos os valores inteiros positivos, e
continuará a oscilar sem se estabilizar em um único valor. Portanto, não existe um número específico que
se aproxime conforme
tende ao infinito.
Passo 3
Agora, vamos para a sequência
. Sabemos que
é uma constante e multiplicar
por um número inteiro
nos dá múltiplos de
. A função seno tem a propriedade de que
para qualquer inteiro
. Então, independentemente do valor de
,
sempre será igual a 0.
Passo 4
Por último, vamos analisar a sequência
. Vamos ver o que acontece conforme
varia:
- Se
: - Se
: - Se
: - Se
:
E assim por diante, a sequência continua alternando entre 1, 0, -1, 0, etc. Isso significa quenão se aproxima de um único valor à medida que aumenta.
Resposta
A sequência
é divergente, a sequência
é convergente com limite 0, e a sequência
é divergente.
Exercícios relacionados
Considere a sequência
cujo termo geral é
. Mostre que
. (Sugestão: Interprete
como uma soma de Riemann de uma integral definida.)
Verifique a convergência ou divergência das seguintes sequências:
Escreva a equação da reta tangente à curva
no ponto
.
b)
b)
Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.