Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão é calcular o limite quando vai para o infinito de . Aqui, estamos lidando com funções logarítmicas e polinomiais, e precisamos entender como elas se comportam conforme cresce muito. Para resolver isso, vamos analisar o crescimento dessas funções e provavelmente usar a regra de L’Hôpital para facilitar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa e . A função é o logaritmo natural de , e quando elevamos isso ao quadrado, , estamos basicamente multiplicando o logaritmo por ele mesmo. Por outro lado, é uma função polinomial onde é elevado à sétima potência. Polinômios crescem muito mais rápido que logaritmos conforme aumenta.

Passo 3

Agora, vamos analisar o limite:
À medida que cresce, aumenta, mas aumenta de forma muito mais rápida. Isso sugere que o denominador está “dominando” o numerador, fazendo com que a fração inteira diminua.

Passo 4

Para confirmar isso, podemos aplicar a regra de L’Hôpital, que é útil quando temos indeterminações do tipo . Primeiro, calculamos a derivada do numerador e do denominador em relação a :
Então, aplicando a regra de L’Hôpital:
Perceba que agora temos , que ainda tende a zero, já que cresce muito mais rápido que .

Resposta

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Verifique se as sequências abaixo convergem ou divergem. Se convergir, encontre seu limite: , para ;
Seja dada por e . Mostre que e que ( é monótona crescente. Conclua que converge e calcule .
Considere a sequência dada por
A sequência é convergente? Justifique!