Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão é calcular o limite quando
vai para o infinito de
. Aqui, estamos lidando com funções logarítmicas e polinomiais, e precisamos entender como elas se comportam conforme
cresce muito. Para resolver isso, vamos analisar o crescimento dessas funções e provavelmente usar a regra de L’Hôpital para facilitar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
e
. A função
é o logaritmo natural de
, e quando elevamos isso ao quadrado,
, estamos basicamente multiplicando o logaritmo por ele mesmo. Por outro lado,
é uma função polinomial onde
é elevado à sétima potência. Polinômios crescem muito mais rápido que logaritmos conforme
aumenta.
Passo 3
Agora, vamos analisar o limite:
À medida que
cresce,
aumenta, mas
aumenta de forma muito mais rápida. Isso sugere que o denominador está “dominando” o numerador, fazendo com que a fração inteira diminua.
Passo 4
Para confirmar isso, podemos aplicar a regra de L’Hôpital, que é útil quando temos indeterminações do tipo
. Primeiro, calculamos a derivada do numerador e do denominador em relação a
:
Então, aplicando a regra de L’Hôpital:
Perceba que agora temos
, que ainda tende a zero, já que
cresce muito mais rápido que
.
Resposta
Exercícios relacionados
Verifique se as sequências abaixo convergem ou divergem. Se convergir, encontre seu limite:
, para
;
Seja
dada por
e
. Mostre que
e que (
é monótona crescente. Conclua que
converge e calcule
.
Considere a sequência dada por
A sequência é convergente? Justifique!