Considere a sequência (xn) dada por x1=1 e xn+1=1+11+xn, para todo n in N. Mostre que lim n infty xn=raiz2.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma sequência definida de forma recursiva, ou seja, cada termo depende do anterior. A sequência é dada por:
  • para todo
O objetivo é mostrar que o limite dessa sequência, quando tende ao infinito, é igual a . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de limites de sequências e resolver uma equação envolvendo limites.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a sequência limn to infty xn = L converge para um limite limn to infty xn+1 = L quando tende ao infinito. Isso significa que:
Se a sequência converge, então o próximo termo também converge para o mesmo limite . Portanto, podemos escrever:

Passo 3

Agora, vamos usar a definição recursiva da sequência para relacionar xn+1 = 1 + 11 + xn com ele mesmo. Sabemos que:
limn to infty xn+1 = limn to infty (1 + 11 + xn)
Tomando o limite dos dois lados dessa equação, temos:
L = 1 + 11 + L
Substituindo pelo limite :

Passo 4

Agora, temos uma equação envolvendo L - 1 = 11 + L que podemos resolver para encontrar o valor de (L - 1)(1 + L) = 1 . Vamos resolver a equação passo a passo.
Primeiro, subtraímos 1 de ambos os lados:
L(1 + L) - 1(1 + L) = 1 L + L^2 - 1 - L = 1
Em seguida, multiplicamos ambos os lados por L^2 - 1 = 1 para eliminar o denominador:
Expandindo o lado esquerdo:
Simplificando os termos:

Passo 5

Agora, resolvemos para L^2 = 1 + 1 L^2 = 2 :
L = raiz2 ou L = -raiz2
Para encontrar , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
No entanto, observamos que todos os termos da sequência são positivos, já que começamos com e adicionamos sempre números positivos nas regras da sequência. Portanto, descartamos a solução negativa.

Resposta

O limite da sequência quando tende ao infinito é .

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