Considere a sequência
dada por
e
, para todo
. Mostre que
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma sequência definida de forma recursiva, ou seja, cada termo depende do anterior. A sequência é dada por:
-
-
para todo
O objetivo é mostrar que o limite dessa sequência, quando
tende ao infinito, é igual a
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de limites de sequências e resolver uma equação envolvendo limites.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a sequência
converge para um limite
quando
tende ao infinito. Isso significa que:
Se a sequência converge, então o próximo termo
também converge para o mesmo limite
. Portanto, podemos escrever:
Passo 3
Agora, vamos usar a definição recursiva da sequência para relacionar
com ele mesmo. Sabemos que:
Tomando o limite dos dois lados dessa equação, temos:
Substituindo pelo limite
:
Passo 4
Agora, temos uma equação envolvendo
que podemos resolver para encontrar o valor de
. Vamos resolver a equação passo a passo.
Primeiro, subtraímos 1 de ambos os lados:
Em seguida, multiplicamos ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Expandindo o lado esquerdo:
Simplificando os termos:
Passo 5
Agora, resolvemos para
:
Para encontrar
, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
No entanto, observamos que todos os termos da sequência são positivos, já que começamos com
e adicionamos sempre números positivos nas regras da sequência. Portanto, descartamos a solução negativa.
Resposta
O limite da sequência
quando
tende ao infinito é
.