Considere a seqüência definida pela recorrência
x_n := { x_0 = 1, x_{n+1} = (x_n^2 + 3) / (2 x_n) }
Sabendo que ele converge para valor positivo, encontre o seu limite

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos apresenta uma sequência definida por uma recorrência:
x_n := { x_0 = 1, x_{n+1} = (x_n^2 + 3) / (2 x_n) }
Nos dizem que essa sequência converge para um valor positivo e pedem para encontrar esse limite. 👀 Para resolver, vamos precisar entender de limites e resolver equações recorrentes.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a sequência realmente converge para um limite positivo. Isso significa que, quando fica bem grande, e vão todos se aproximar de . Então, podemos substituir e por na fórmula da recorrência:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por para eliminar a fração:

Passo 4

Vamos simplificar a equação subtraindo de ambos os lados:

Passo 5

Finalmente, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar :
Como nos foi dito que o limite é positivo, descartamos a solução negativa.

Resposta

O limite da sequência é .

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