Considere a seqüência definida pela recorrência
Sabendo que ele converge para valor positivo, encontre o seu limite
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos apresenta uma sequência definida por uma recorrência:
Nos dizem que essa sequência converge para um valor positivo e pedem para encontrar esse limite. 👀 Para resolver, vamos precisar entender de limites e resolver equações recorrentes.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a sequência realmente converge para um limite
positivo. Isso significa que, quando
fica bem grande,
e
vão todos se aproximar de
. Então, podemos substituir
e
por
na fórmula da recorrência:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar
. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por
para eliminar a fração:
Passo 4
Vamos simplificar a equação subtraindo
de ambos os lados:
Passo 5
Finalmente, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar
:
Como nos foi dito que o limite é positivo, descartamos a solução negativa.
Resposta
O limite da sequência é
.
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