Determine os quatro primeiros termos de cada seqüência, analise a sua convergência e encontre o limite caso exista:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar os quatro primeiros termos da sequência definida por . Depois, a gente vai analisar se essa sequência converge e, se sim, qual é o limite. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular termos de uma sequência e também ter uma noção sobre convergência de sequências.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular os quatro primeiros termos da sequência. Vamos substituir na fórmula.
Para :

Passo 3

Para :

Passo 4

Para :

Passo 5

Para :

Passo 6

Agora que temos os quatro primeiros termos:
Observamos que os valores estão indo se tornando cada vez menores e alternando o sinal positivo e negativo.

Passo 7

Para analisar a convergência, vamos observar o comportamento geral da sequência. A expressão envolve o fatorial de , que cresce muito rapidamente conforme aumenta. O termo apenas alterna o sinal da sequência.
Como o denominador cresce super rápido, os termos vão se aproximando de zero, já que tende a zero quando tende ao infinito.

Passo 8

Portanto, a sequência converge, e o seu limite é:

Resposta

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Escreva os quatro primeiros termos de cada sequência e descubra a fórmula do -ésimo termo em função de . e ;
Considere a seqüência definida pela recorrência
Sabendo que ele converge para valor positivo, encontre o seu limite
Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.