Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.
Passo 1
Vamos analisar o exercício: precisamos determinar se a sequência
é divergente ou convergente. Se for convergente, também devemos encontrar o seu limite. Para resolver isso, vamos usar conceitos de sequências e limites, além de algumas propriedades de fatoriais e radiciação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
(fatorial de n). O fatorial de um número inteiro positivo n é o produto de todos os números inteiros de 1 até n. Por exemplo,
.
Agora, a sequência dada é
, que pode ser escrita como
. Nosso objetivo é descobrir o comportamento dessa sequência à medida que n aumenta indefinidamente.
Passo 3
Para analisar o limite de
quando n tende ao infinito, podemos utilizar a aproximação de Stirling para o fatorial, que é uma fórmula que aproxima o fatorial de grandes números:
Tomando a raiz de ordem n de ambos os lados:
Simplificando:
Passo 4
Observamos que
é uma expressão que se aproxima de 1 conforme n cresce, porque a raiz de ordem n de qualquer coisa que cresce mais lentamente que exponencialmente tende a 1. Portanto:
Passo 5
Agora, analisando
, vemos que conforme n tende ao infinito,
também tende ao infinito, já que n cresce sem limites e e é uma constante (~2,718).
Resposta
A sequência
é divergente, ou seja, tende ao infinito quando n tende ao infinito.
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