Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.

Passo 1

Vamos analisar o exercício: precisamos determinar se a sequência é divergente ou convergente. Se for convergente, também devemos encontrar o seu limite. Para resolver isso, vamos usar conceitos de sequências e limites, além de algumas propriedades de fatoriais e radiciação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é (fatorial de n). O fatorial de um número inteiro positivo n é o produto de todos os números inteiros de 1 até n. Por exemplo, .
Agora, a sequência dada é , que pode ser escrita como . Nosso objetivo é descobrir o comportamento dessa sequência à medida que n aumenta indefinidamente.

Passo 3

Para analisar o limite de quando n tende ao infinito, podemos utilizar a aproximação de Stirling para o fatorial, que é uma fórmula que aproxima o fatorial de grandes números:
Tomando a raiz de ordem n de ambos os lados:
Simplificando:

Passo 4

Observamos que é uma expressão que se aproxima de 1 conforme n cresce, porque a raiz de ordem n de qualquer coisa que cresce mais lentamente que exponencialmente tende a 1. Portanto:

Passo 5

Agora, analisando , vemos que conforme n tende ao infinito, também tende ao infinito, já que n cresce sem limites e e é uma constante (~2,718).

Resposta

A sequência é divergente, ou seja, tende ao infinito quando n tende ao infinito.

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Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.
Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.