Determine os quatro primeiros termos de cada seqüência, analise a sua convergência e encontre o limite caso exista:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os quatro primeiros termos da sequência , analisar se essa sequência converge (ou seja, se ela se aproxima de algum valor específico conforme cresce) e, se sim, descobrir qual é esse limite. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular termos de uma sequência e conceitos básicos de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular os quatro primeiros termos da sequência substituindo por 1, 2, 3 e 4 na fórmula .
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Então, os quatro primeiros termos são aproximadamente 0,333; 1; 1,8; e 2,666.

Passo 3

Agora, vamos analisar a convergência da sequência. Para isso, precisamos encontrar o limite de quando tende ao infinito ( ).
A expressão da sequência é:
Quando fica muito grande, o comportamento da sequência é determinado pelos termos de maior grau no numerador e no denominador. Aqui, o numerador tem e o denominador tem .
Podemos simplificar a expressão dividindo o numerador e o denominador por :
À medida que cresce, se aproxima de 0, então:
Isso significa que a sequência não converge para um número finito; ao invés disso, ela cresce sem limites.

Resposta

Os quatro primeiros termos da sequência são aproximadamente 0,333; 1; 1,8; e 2,666. A sequência não converge, pois seu limite é infinito ( ).

Exercícios relacionados

Escreva os quatro primeiros termos de cada sequência e descubra a fórmula do -ésimo termo em função de . e ;
Escreva os cinco primeiros termos de cada sequência (supondo que começa em ). ;
Determine os quatro primeiros termos de cada seqüência, analise a sua convergência e encontre o limite caso exista:
Considere a seqüência definida pela recorrência
Sabendo que ele converge para valor positivo, encontre o seu limite