Determine os quatro primeiros termos de cada seqüência, analise a sua convergência e encontre o limite caso exista:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os quatro primeiros termos da sequência
, analisar se essa sequência converge (ou seja, se ela se aproxima de algum valor específico conforme
cresce) e, se sim, descobrir qual é esse limite. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular termos de uma sequência e conceitos básicos de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular os quatro primeiros termos da sequência substituindo
por 1, 2, 3 e 4 na fórmula
.
-
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
:
Então, os quatro primeiros termos são aproximadamente 0,333; 1; 1,8; e 2,666.
Passo 3
Agora, vamos analisar a convergência da sequência. Para isso, precisamos encontrar o limite de
quando
tende ao infinito (
).
A expressão da sequência é:
Quando
fica muito grande, o comportamento da sequência é determinado pelos termos de maior grau no numerador e no denominador. Aqui, o numerador tem
e o denominador tem
.
Podemos simplificar a expressão dividindo o numerador e o denominador por
:
À medida que
cresce,
se aproxima de 0, então:
Isso significa que a sequência não converge para um número finito; ao invés disso, ela cresce sem limites.
Resposta
Os quatro primeiros termos da sequência são aproximadamente 0,333; 1; 1,8; e 2,666. A sequência não converge, pois seu limite é infinito (
).
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Escreva os quatro primeiros termos de cada sequência e descubra a fórmula do
-ésimo termo em função de
.
e
;
Escreva os cinco primeiros termos de cada sequência (supondo que começa em
).
;
Determine os quatro primeiros termos de cada seqüência, analise a sua convergência e encontre o limite caso exista:
Considere a seqüência definida pela recorrência
Sabendo que ele converge para valor positivo, encontre o seu limite