Ok, vamos lá! Temos uma transformação linear definida por:
E um paralelepípedo com volume 3. Queremos descobrir como essa transformação afeta o volume de , ou seja, determinar o volume de .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente o determinante de uma matriz que representa a transformação linear. O determinante nos dá uma ideia de como a transformação escala volumes no espaço.
Passo 2
Primeiro, precisamos representar a transformação como uma matriz. Cada coluna da matriz será formada pelos coeficientes de , e nas expressões de .
Então, a matriz que representa é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz . O determinante de uma matriz pode ser calculado da seguinte forma:
Mas, observando que a matriz é triangular (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal:
Passo 4
O determinante da matriz de transformação nos indica como o volume é escalado pela transformação. Se , o volume é aumentado; se , o volume é diminuído; se , o volume permanece o mesmo.
No nosso caso, , que é maior que 1. Isso significa que o volume será aumentado pela transformação .
Passo 5
Sabendo que o volume inicial de é 3, o volume de será:
Então, o volume de é maior que o volume de .
Resposta
A opção correta é a letra D) é maior do que o volume de .