Seja T: R^3 R^3 a transformação
T(x, y, z)=(9 x-2 y+4 z, y7-5 z, z)
e seja Q subset R^3 um paralelepípedo com volume 3. O volume do paralelepípedo transformado T(Q) :
(A) é igual ao volume de Q.
(B) é menor do que o volume de Q.
© pode ser maior ou menor do que o volume de Q.
(D) é maior do que o volume de Q.
(E) Não sei

Passo 1

Ok, vamos lá! Temos uma transformação linear T(x, y, z) = (9x - 2y + 4z, y7 - 5z, z) definida por:
E um paralelepípedo com volume 3. Queremos descobrir como essa transformação afeta o volume de , ou seja, determinar o volume de .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente o determinante de uma matriz que representa a transformação linear. O determinante nos dá uma ideia de como a transformação escala volumes no espaço.

Passo 2

Primeiro, precisamos representar a transformação A = 9 & -2 & 4 0 & 17 & -5 0 & 0 & 1 como uma matriz. Cada coluna da matriz será formada pelos coeficientes de , e nas expressões de .
Então, a matriz que representa é:

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz det(A) = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31) . O determinante de uma matriz det(A) = 9 times 17 times 1 = 97 pode ser calculado da seguinte forma:
Mas, observando que a matriz é triangular (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal:

Passo 4

O determinante da matriz de transformação nos indica como o volume é escalado pela transformação. Se , o volume é aumentado; se , o volume é diminuído; se , o volume permanece o mesmo.
No nosso caso, , que é maior que 1. Isso significa que o volume será aumentado pela transformação .

Passo 5

Sabendo que o volume inicial de Volume de T(Q) = det(A) times Volume de Q = 97 times 3 = 277 approx 3,857 é 3, o volume de será:
Então, o volume de é maior que o volume de .

Resposta

A opção correta é a letra D) é maior do que o volume de .

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