Seja a transformação
e seja um paralelepípedo com volume 3. O volume do paralelepípedo transformado :
(A) é igual ao volume de .
(B) é menor do que o volume de .
© pode ser maior ou menor do que o volume de .
(D) é maior do que o volume de .
(E) Não sei

Passo 1

Ok, vamos lá! Temos uma transformação linear definida por:
E um paralelepípedo com volume 3. Queremos descobrir como essa transformação afeta o volume de , ou seja, determinar o volume de .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente o determinante de uma matriz que representa a transformação linear. O determinante nos dá uma ideia de como a transformação escala volumes no espaço.

Passo 2

Primeiro, precisamos representar a transformação como uma matriz. Cada coluna da matriz será formada pelos coeficientes de , e nas expressões de .
Então, a matriz que representa é:

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz . O determinante de uma matriz pode ser calculado da seguinte forma:
Mas, observando que a matriz é triangular (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal:

Passo 4

O determinante da matriz de transformação nos indica como o volume é escalado pela transformação. Se , o volume é aumentado; se , o volume é diminuído; se , o volume permanece o mesmo.
No nosso caso, , que é maior que 1. Isso significa que o volume será aumentado pela transformação .

Passo 5

Sabendo que o volume inicial de é 3, o volume de será:
Então, o volume de é maior que o volume de .

Resposta

A opção correta é a letra D) é maior do que o volume de .

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Dados os vetores e :
determine e .
Considere a sequência formada pela lei de recorrência . Se , para que valor de temos ?
Dica: defina e note que
Portanto .
(A) 4
(B) 7
© 6
(D) 9
(E) 2
(F) 8
(G) 5
(H) 3
(I) Não sei
(a) Encontre uma matriz não-nula de tamanho tal que .
Determine a equação vetorial e as equações simétricas da reta que passa pelos pontos e B .