Sejam u, v in V, em que V é um espaço vetorial euclidiano. Prove que
u, v é LD Leftrightarrow|lang<= u, vrang<=|=|u||v|
Resp.: Use as definições.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. O enunciado pede para provar que um conjunto de dois vetores, u, v, é linearmente dependente se e somente se o valor absoluto do produto interno desses vetores é igual ao produto das normas deles, ou seja, |lang<= u, vrang<=| = |u||v|. Vamos usar as definições de dependência linear e propriedades do produto interno para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ser linearmente dependente. Um conjunto de vetores é linearmente dependente se pelo menos um dos vetores puder ser escrito como uma combinação linear dos outros. No caso de dois vetores, u, v, isso significa que existe um escalar k tal que u = k v ou v = k u.

Passo 3

Agora, vamos trabalhar com a direção "se u, v é linearmente dependente, então |lang<= u, vrang<=| = |u||v|". Suponha que u = k v. Então, o produto interno lang<= u, vrang<= se torna lang<= k v, vrang<= = k lang<= v, vrang<= = k |v|^2. As normas são |u| = |k| |v| e |v| permanece. Então, |lang<= u, vrang<=| = |k| |v|^2 = |u| |v|.

Passo 4

Agora, vamos para a outra direção: “se |lang<= u, vrang<=| = |u||v|, então u, v é linearmente dependente”. Sabemos pela propriedade do produto interno que |lang<= u, vrang<=| <= |u||v| (desigualdade de Cauchy-Schwarz), e a igualdade ocorre se e somente se os vetores são linearmente dependentes. Portanto, se temos |lang<= u, vrang<=| = |u||v|, isso implica que u e v são múltiplos um do outro, ou seja, são linearmente dependentes.

Resposta

Portanto, mostramos que u, v é linearmente dependente se e somente se |lang<= u, vrang<=| = |u||v|.

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