Sejam
, em que
é um espaço vetorial euclidiano. Prove que
é
Resp.: Use as definições.
Resp.: Use as definições.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. O enunciado pede para provar que um conjunto de dois vetores,
, é linearmente dependente se e somente se o valor absoluto do produto interno desses vetores é igual ao produto das normas deles, ou seja,
. Vamos usar as definições de dependência linear e propriedades do produto interno para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ser linearmente dependente. Um conjunto de vetores é linearmente dependente se pelo menos um dos vetores puder ser escrito como uma combinação linear dos outros. No caso de dois vetores,
, isso significa que existe um escalar
tal que
ou
.
Passo 3
Agora, vamos trabalhar com a direção "se
é linearmente dependente, então
". Suponha que
. Então, o produto interno
se torna
. As normas são
e
permanece. Então,
.
Passo 4
Agora, vamos para a outra direção: “se
, então
é linearmente dependente”. Sabemos pela propriedade do produto interno que
(desigualdade de Cauchy-Schwarz), e a igualdade ocorre se e somente se os vetores são linearmente dependentes. Portanto, se temos
, isso implica que
e
são múltiplos um do outro, ou seja, são linearmente dependentes.
Resposta
Portanto, mostramos que
é linearmente dependente se e somente se
.
Exercícios relacionados
Defina Espaço Vetorial.
Considere a sequência formada pela lei de recorrência
. Se
, para que valor de
temos
?
Dica: defina e note que
Dica: defina
Portanto
.
(A) 2
(B) 7
© 8
(D) 3
(E) 6
(F) 4
(G) 9
(H) 5
(I) Não sei
(A) 2
(B) 7
© 8
(D) 3
(E) 6
(F) 4
(G) 9
(H) 5
(I) Não sei
Seja
um espaço euclidiano. Prove as seguintes afirmações:
(d) e
(d)
No espaço euclidiano
, consideremos os vetores
e
. Determine
e o co-seno do ângulo entre
e
. Resp.:
,
e