Sejam , em que é um espaço vetorial euclidiano. Prove que
é
Resp.: Use as definições.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. O enunciado pede para provar que um conjunto de dois vetores, , é linearmente dependente se e somente se o valor absoluto do produto interno desses vetores é igual ao produto das normas deles, ou seja, . Vamos usar as definições de dependência linear e propriedades do produto interno para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ser linearmente dependente. Um conjunto de vetores é linearmente dependente se pelo menos um dos vetores puder ser escrito como uma combinação linear dos outros. No caso de dois vetores, , isso significa que existe um escalar tal que ou .

Passo 3

Agora, vamos trabalhar com a direção "se é linearmente dependente, então ". Suponha que . Então, o produto interno se torna . As normas são e permanece. Então, .

Passo 4

Agora, vamos para a outra direção: “se , então é linearmente dependente”. Sabemos pela propriedade do produto interno que (desigualdade de Cauchy-Schwarz), e a igualdade ocorre se e somente se os vetores são linearmente dependentes. Portanto, se temos , isso implica que e são múltiplos um do outro, ou seja, são linearmente dependentes.

Resposta

Portanto, mostramos que é linearmente dependente se e somente se .

Exercícios relacionados

Defina Espaço Vetorial.
Considere a sequência formada pela lei de recorrência . Se , para que valor de temos ?
Dica: defina e note que
Portanto .
(A) 2
(B) 7
© 8
(D) 3
(E) 6
(F) 4
(G) 9
(H) 5
(I) Não sei
Seja um espaço euclidiano. Prove as seguintes afirmações:
(d) e
No espaço euclidiano , consideremos os vetores e . Determine e o co-seno do ângulo entre e . Resp.: , e