Determine a area das superfícies Parte do plano limitada pela superfície cilíndrica .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da parte do plano que está limitada pelo cilindro . Isso envolve geometria espacial e cálculo de integrais. Vamos precisar entender como parametrizar a superfície e calcular a integral de área.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a área que estamos calculando. A equação do cilindro nos diz que estamos trabalhando com um cilindro circular de raio 1 centrado no eixo z. A interseção desse cilindro com o plano nos dá a região plana cuja área queremos encontrar.

Passo 3

Vamos começar isolando na equação do plano para facilitar a parametrização. A equação do plano é:
Agora, temos em função de e .

Passo 4

A próxima etapa é parametrizar a região sobre a qual vamos integrar. Como a interseção está limitada pelo cilindro , uma boa ideia é usar coordenadas polares para simplificar a integração. Em coordenadas polares, temos:
e varia de 0 a 1 (o raio do cilindro), e varia de 0 a .

Passo 5

Para encontrar a área da superfície, usamos a fórmula da integral de superfície. A fórmula geral para a área de uma superfície é:
No nosso caso, , então:
Substituindo na fórmula:

Passo 6

Agora, a área se simplifica para:
A integral dupla representa a área da região no plano xy, que no nosso caso é o círculo de raio 1. Sabemos que a área de um círculo de raio é , então:

Passo 7

Finalmente, multiplicamos pela constante que obtivemos anteriormente:

Resposta

A área da superfície é unidades de área.

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Esboce o gráfico do conjunto.
Considere a sequência onde . Prove que converge.
Determine a area das superfícies .
Seja : Determine e para que seja conservativo.