Determine a area das superfícies Parte do plano
limitada pela superfície cilíndrica
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da parte do plano
que está limitada pelo cilindro
. Isso envolve geometria espacial e cálculo de integrais. Vamos precisar entender como parametrizar a superfície e calcular a integral de área.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a área que estamos calculando. A equação do cilindro
nos diz que estamos trabalhando com um cilindro circular de raio 1 centrado no eixo z. A interseção desse cilindro com o plano
nos dá a região plana cuja área queremos encontrar.
Passo 3
Vamos começar isolando
na equação do plano para facilitar a parametrização. A equação do plano é:
Agora, temos
em função de
e
.
Passo 4
A próxima etapa é parametrizar a região sobre a qual vamos integrar. Como a interseção está limitada pelo cilindro
, uma boa ideia é usar coordenadas polares para simplificar a integração. Em coordenadas polares, temos:
e
varia de 0 a 1 (o raio do cilindro), e
varia de 0 a
.
Passo 5
Para encontrar a área da superfície, usamos a fórmula da integral de superfície. A fórmula geral para a área
de uma superfície
é:
No nosso caso,
, então:
Substituindo na fórmula:
Passo 6
Agora, a área se simplifica para:
A integral dupla
representa a área da região
no plano xy, que no nosso caso é o círculo de raio 1. Sabemos que a área de um círculo de raio
é
, então:
Passo 7
Finalmente, multiplicamos pela constante
que obtivemos anteriormente:
Resposta
A área da superfície é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico do conjunto.
Considere a sequência
onde
. Prove que
converge.
Determine a area das superfícies
.
Seja
: Determine
e
para que
seja conservativo.