Considere a sequência onde . Determine se a sequência é convergente e, em caso afirmativo, encontre o limite.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar a sequência onde . A matéria envolvida aqui é sobre sequências e seus limites, especificamente convergência. Para resolver isso, vamos precisar entender como os termos da sequência se comportam quando fica cada vez maior, ou seja, tendemos ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência ser convergente. Uma sequência é convergente se houver um número para o qual os termos da sequência se aproximam cada vez mais à medida que cresce. Esse número é chamado de limite da sequência.

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento de quando tende a infinito. Para isso, observamos os termos de maior grau no numerador e no denominador, que são e , respectivamente.

Passo 4

Dividimos todos os termos do numerador e do denominador por para simplificar:
Quando tende a infinito, e no numerador, assim como no denominador, tendem a zero.

Passo 5

Simplificando com esses limites:
Isso mostra que a sequência se aproxima cada vez mais de conforme cresce.

Resposta

A sequência é convergente e o seu limite é .

Exercícios relacionados

Encontre o limite da sequência onde .
Dados dois números reais e , se , então .
Considere a sequência definida por . Mostre que ela é crescente e limitada.
Sejam e conjuntos não vazios de números reais tais que . Prove que , se, e somente se, para todo , existem e tais que .