Considere a sequência
onde
. Determine se a sequência é convergente e, em caso afirmativo, encontre o limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar a sequência
onde
. A matéria envolvida aqui é sobre sequências e seus limites, especificamente convergência. Para resolver isso, vamos precisar entender como os termos da sequência se comportam quando
fica cada vez maior, ou seja, tendemos ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência ser convergente. Uma sequência é convergente se houver um número para o qual os termos da sequência se aproximam cada vez mais à medida que
cresce. Esse número é chamado de limite da sequência.
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento de
quando
tende a infinito. Para isso, observamos os termos de maior grau no numerador e no denominador, que são
e
, respectivamente.
Passo 4
Dividimos todos os termos do numerador e do denominador por
para simplificar:
Quando
tende a infinito,
e
no numerador, assim como
no denominador, tendem a zero.
Passo 5
Simplificando com esses limites:
Isso mostra que a sequência
se aproxima cada vez mais de
conforme
cresce.
Resposta
A sequência
é convergente e o seu limite é
.
Exercícios relacionados
Encontre o limite da sequência
onde
.
Dados dois números reais
e
, se
, então
.
Considere a sequência
definida por
. Mostre que ela é crescente e limitada.
Sejam
e
conjuntos não vazios de números reais tais que
. Prove que
, se, e somente se, para todo
, existem
e
tais que
.