Considere a sequência definida por . Mostre que ela é crescente e limitada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para analisar a sequência definida por . Nosso objetivo é mostrar que essa sequência é crescente e limitada. Basicamente, vamos ver se cada termo seguinte é maior que o anterior e se há um valor máximo que essa sequência não ultrapassa.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que a sequência é crescente. Para isso, precisamos provar que cada termo é maior que .
Observamos que:
Como é sempre positivo para todo natural, adicioná-lo a faz com que . Portanto, a sequência é crescente.

Passo 3

Agora, vamos mostrar que a sequência é limitada. Isso significa que existe um número real que serve como um limite superior para todos os termos da sequência.
Sabemos que a soma infinita converge para . Isso é um resultado conhecido na matemática, relacionado à série de Basel. Como a soma dos primeiros termos é sempre menor que a soma infinita, temos que:
Portanto, é um limite superior para a sequência .

Resposta

A sequência definida por é crescente e está limitada pelo número .

Exercícios relacionados

Considere a sequência onde . Determine se a sequência é convergente e, em caso afirmativo, encontre o limite.
Encontre o limite da sequência onde .
Sejam e conjuntos não vazios de números reais tais que . Prove que , se, e somente se, para todo , existem e tais que .
Se e , com , prove que existe tal que implica .