Considere a sequência
definida por
. Mostre que ela é crescente e limitada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para analisar a sequência
definida por
. Nosso objetivo é mostrar que essa sequência é crescente e limitada. Basicamente, vamos ver se cada termo seguinte é maior que o anterior e se há um valor máximo que essa sequência não ultrapassa.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que a sequência é crescente. Para isso, precisamos provar que cada termo
é maior que
.
Observamos que:
Como
é sempre positivo para todo
natural, adicioná-lo a
faz com que
. Portanto, a sequência é crescente.
Passo 3
Agora, vamos mostrar que a sequência é limitada. Isso significa que existe um número real que serve como um limite superior para todos os termos da sequência.
Sabemos que a soma infinita
converge para
. Isso é um resultado conhecido na matemática, relacionado à série de Basel. Como a soma dos primeiros
termos
é sempre menor que a soma infinita, temos que:
Portanto,
é um limite superior para a sequência
.
Resposta
A sequência
definida por
é crescente e está limitada pelo número
.
Exercícios relacionados
Considere a sequência
onde
. Determine se a sequência é convergente e, em caso afirmativo, encontre o limite.
Encontre o limite da sequência
onde
.
Sejam
e
conjuntos não vazios de números reais tais que
. Prove que
, se, e somente se, para todo
, existem
e
tais que
.
Se
e
, com
, prove que existe
tal que
implica
.