Sejam e conjuntos não vazios de números reais tais que . Prove que , se, e somente se, para todo , existem e tais que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício está no campo da Análise Real, especificamente lidando com supremo e ínfimo de conjuntos de números reais. A gente precisa provar que o supremo de é igual ao ínfimo de se e somente se para todo , existe um elemento em e um elemento em tal que . Ou seja, vamos mostrar essa equivalência passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . O supremo de , denotado por , é o menor número que é maior ou igual a todos os elementos de . Já o ínfimo de , denotado por , é o maior número que é menor ou igual a todos os elementos de .

Passo 3

Agora, vamos dividir a prova em duas partes: necessidade e suficiência.

Prova de Necessidade ( tal que )

  1. Suponha que .
  2. Queremos mostrar que para qualquer , podemos achar e com .
  3. Supremo: Como , para qualquer , existe tal que .
  4. Ínfimo: Como , para o mesmo , existe tal que .
  5. Então, .
  6. Portanto, achamos e que satisfazem .

Prova de Suficiência ( tal que )

  1. Suponha que para todo , existem e com .
  2. Queremos mostrar que .
  3. Primeiro, note que todo é menor ou igual a todo , então .
  4. Vamos mostrar o inverso: .
  5. Suponha, por contradição, que . Então, a diferença .
  6. Escolha . Pela hipótese, existem e com .
  7. Mas e , então , o que é uma contradição.
  8. Portanto, nossa suposição estava errada e .
  9. Assim, .

Resposta

Portanto, provamos que se e somente se, para todo , existem e tais que . 🎉

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