Sejam
e
conjuntos não vazios de números reais tais que
. Prove que
, se, e somente se, para todo
, existem
e
tais que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício está no campo da Análise Real, especificamente lidando com supremo e ínfimo de conjuntos de números reais. A gente precisa provar que o supremo de
é igual ao ínfimo de
se e somente se para todo
, existe um elemento
em
e um elemento
em
tal que
. Ou seja, vamos mostrar essa equivalência passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. O supremo de
, denotado por
, é o menor número que é maior ou igual a todos os elementos de
. Já o ínfimo de
, denotado por
, é o maior número que é menor ou igual a todos os elementos de
.
Passo 3
Agora, vamos dividir a prova em duas partes: necessidade e suficiência.
Prova de Necessidade (
tal que
)
- Suponha que
. - Queremos mostrar que para qualquer
, podemos achar e com . - Supremo: Como
, para qualquer , existe tal que . - Ínfimo: Como
, para o mesmo , existe tal que . - Então,
. - Portanto, achamos
e que satisfazem .
Prova de Suficiência (
tal que
)
- Suponha que para todo
, existem e com . - Queremos mostrar que
. - Primeiro, note que todo
é menor ou igual a todo , então . - Vamos mostrar o inverso:
. - Suponha, por contradição, que
. Então, a diferença . - Escolha
. Pela hipótese, existem e com . - Mas
e , então , o que é uma contradição. - Portanto, nossa suposição estava errada e
. - Assim,
.
Resposta
Portanto, provamos que
se e somente se, para todo
, existem
e
tais que
. 🎉
Exercícios relacionados
Considere a sequência
definida por
. Mostre que ela é crescente e limitada.
Considere a sequência
onde
. Determine se a sequência é convergente e, em caso afirmativo, encontre o limite.
Se
e
, com
, prove que existe
tal que
implica
.
Mostre que toda sequência monótona e limitada é convergente.