Determine a derivada da função vetorial.
d.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função vetorial . Aqui estamos trabalhando com cálculo, mais especificamente com derivadas de funções vetoriais. Para isso, vamos precisar saber como derivar funções escalares e aplicá-las a cada componente do vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para cada componente da função vetorial individualmente. A função está escrita em termos das três direções do espaço: , e .

Passo 3

Vamos derivar cada componente em relação a :
  1. Componente em :
    • A derivada de em relação a é simplesmente .
  2. Componente em :
    • A derivada de uma constante é zero. Então, a derivada de é .
  3. Componente em :
    • Aqui usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é , e depois multiplicamos pela derivada de em relação a .
    • e sua derivada é .
    • Então, a derivada de é .

Passo 4

Agora, juntamos todas as derivadas das componentes:
Podemos simplificar removendo o termo zero:

Resposta

A derivada da função vetorial é

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Determine:
Encontre naturais tais que
(a) para
Determine: