Considere a sequência de números reais definida por:
x1:=raiz6, x2:=raiz6+raiz6, x3:=raiz6+raiz6+raiz6, ldots
Calcule lim n infty xn.

Passo 1

Beleza, a gente tem uma sequência de números reais onde cada termo é uma raiz quadrada que inclui o termo anterior. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre limites de sequências e um pouco de álgebra para resolver equações quadráticas. O que a gente vai precisar é entender como encontrar o valor para o qual a sequência se aproxima quando cresce bastante.

Passo 2

Vamos imaginar que essa sequência tem um limite, que a gente chama de L = raiz6 + L . Isso quer dizer que, conforme fica muito grande, vai chegando cada vez mais perto de . Então, podemos escrever a relação da sequência assim:

Passo 3

Pra resolver essa equação e achar L^2 = 6 + L , vamos tirar a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado. Fica assim:

Passo 4

Agora, vamos arrumar essa equação colocando todos os termos do mesmo lado. Subtraímos L^2 - L - 6 = 0 e 6 dos dois lados:
Isso é uma equação quadrática, que geralmente resolvemos com a fórmula de Bhaskara.

Passo 5

Vamos aplicar a fórmula de Bhaskara para resolver a equação L = -b pm raizb^2 - 4ac2a . A fórmula é:
L = 1 pm raiz1 + 242 = 1 pm 52
Aqui, , , e . Substituindo:

Passo 6

Isso nos dá duas possíveis soluções:
L = 1 + 52 = 3 ou L = 1 - 52 = -2
Como a gente está lidando com raízes quadradas, os termos da sequência são sempre positivos. Então, descartamos .

Resposta

O limite da sequência é .

Exercícios relacionados