Considere a sequência de números reais definida por:
Calcule
.
Passo 1
Beleza, a gente tem uma sequência de números reais onde cada termo é uma raiz quadrada que inclui o termo anterior. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre limites de sequências e um pouco de álgebra para resolver equações quadráticas. O que a gente vai precisar é entender como encontrar o valor para o qual a sequência se aproxima quando
cresce bastante.
Passo 2
Vamos imaginar que essa sequência tem um limite, que a gente chama de
. Isso quer dizer que, conforme
fica muito grande,
vai chegando cada vez mais perto de
. Então, podemos escrever a relação da sequência assim:
Passo 3
Pra resolver essa equação e achar
, vamos tirar a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado. Fica assim:
Passo 4
Agora, vamos arrumar essa equação colocando todos os termos do mesmo lado. Subtraímos
e 6 dos dois lados:
Isso é uma equação quadrática, que geralmente resolvemos com a fórmula de Bhaskara.
Passo 5
Vamos aplicar a fórmula de Bhaskara para resolver a equação
. A fórmula é:
Aqui,
,
, e
. Substituindo:
Passo 6
Isso nos dá duas possíveis soluções:
Como a gente está lidando com raízes quadradas, os termos da sequência são sempre positivos. Então, descartamos
.
Resposta
O limite da sequência é
.
Exercícios relacionados
Seja
. Localizar a raiz em um intervalo de comprimento 0.5.
Prove, usando definição, que se
, então
.
Considere a sequência
.
Calule o limite de usando regras de cálculo.
Calule o limite de
Seja
. Provar que a equação
possui uma única raiz real.