Prove, usando definição, que se
, então
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que se uma sequência
converge para
, então a sequência
também converge para
. Estamos lidando aqui com limites de sequências, uma parte importante da análise matemática. Para resolver isso, vamos usar a definição de convergência de sequências, que nos ajuda a entender exatamente o que significa uma sequência chegar perto de um certo valor.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição de convergência de uma sequência. Dizemos que
converge para
se, para todo número pequeno
, existe um ponto na sequência a partir do qual todos os termos
estão a uma distância menor que
de
. Em símbolos:
Passo 3
Agora, queremos mostrar que
converge para
. Ou seja, para todo
, queremos encontrar um
tal que, se
, então:
Passo 4
Vamos manipular a expressão
para facilitar. Podemos fatorar essa diferença de quadrados:
Passo 5
Sabemos que
converge para
, então
fica próximo de
. Vamos supor que todos os
estejam dentro de
, ou seja:
Isso nos dá um limite para
:
Passo 6
Voltando à expressão
, temos:
Queremos que isso seja menor que
, então basta que:
Passo 7
Como
converge para
, existe um
tal que, para todo
:
Resposta
Portanto, provamos que se
converge para
, então
converge para
.