Prove, usando definição, que se , então .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que se uma sequência converge para , então a sequência também converge para . Estamos lidando aqui com limites de sequências, uma parte importante da análise matemática. Para resolver isso, vamos usar a definição de convergência de sequências, que nos ajuda a entender exatamente o que significa uma sequência chegar perto de um certo valor.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de convergência de uma sequência. Dizemos que converge para se, para todo número pequeno , existe um ponto na sequência a partir do qual todos os termos estão a uma distância menor que de . Em símbolos:

Passo 3

Agora, queremos mostrar que converge para . Ou seja, para todo , queremos encontrar um tal que, se , então:

Passo 4

Vamos manipular a expressão para facilitar. Podemos fatorar essa diferença de quadrados:

Passo 5

Sabemos que converge para , então fica próximo de . Vamos supor que todos os estejam dentro de , ou seja:
Isso nos dá um limite para :

Passo 6

Voltando à expressão , temos:
Queremos que isso seja menor que , então basta que:

Passo 7

Como converge para , existe um tal que, para todo :

Resposta

Portanto, provamos que se converge para , então converge para .

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Seja . Localizar a raiz em um intervalo de comprimento 0.5.
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Calcule .