Seja
. Provar que a equação
possui uma única raiz real.
Passo 1
Beleza, então temos a função
e precisamos provar que a equação
tem apenas uma raiz real. Isso envolve conceitos de funções contínuas, derivadas e análise de crescimento das funções. Vamos precisar usar o conceito de derivada para analisar o comportamento da função e garantir que ela cruza o eixo x apenas uma vez.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Basicamente, estamos procurando o valor de
que faz com que a função
seja igual a zero. Em outras palavras, queremos encontrar onde o gráfico da função cruza o eixo x.
Passo 3
Para provar que existe apenas uma raiz, vamos analisar a derivada de
. A derivada nos ajuda a entender como a função está se comportando: se está aumentando ou diminuindo. Se a derivada for sempre positiva ou sempre negativa, isso indica que a função é estritamente crescente ou decrescente, respectivamente, o que nos ajuda a concluir sobre a unicidade da raiz.
Passo 4
Vamos calcular a derivada de
:
Observamos que
é sempre positiva para todo
real, já que o denominador
nunca é zero.
Passo 5
Então,
para todo
. Isso significa que a função
é estritamente crescente em todo o seu domínio. Uma função estritamente crescente pode cruzar o eixo x no máximo uma vez.
Passo 6
Além disso, vamos verificar o comportamento da função em limites extremos para garantir que ela realmente cruza o eixo x.
- Quando
:
Então,
- Quando
:
Então, ( f(x) \to \frac{\pi}{2} + \infty - 1 = +\infty
]
]
Passo 7
Como
é contínua (a soma de funções contínuas é contínua) e
vai de
a
, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um valor de
onde
.
Passo 8
Já que mostramos que
é estritamente crescente e que ela passa de
a
, concluímos que ela cruza o eixo x exatamente uma vez. Portanto, a equação
tem uma única raiz real.
Resposta
A equação
possui uma única raiz real.
Exercícios relacionados
Considere a sequência
.
Calule o limite de usando regras de cálculo.
Calule o limite de
Considere a sequência de números reais definida por:
Calcule
.
Prove que :
O conjunto não é limitado inferiormente.
O conjunto
Verifique que a função definida por partes
é a solução de
no intervalo
.