Seja . Provar que a equação possui uma única raiz real.

Passo 1

Beleza, então temos a função e precisamos provar que a equação tem apenas uma raiz real. Isso envolve conceitos de funções contínuas, derivadas e análise de crescimento das funções. Vamos precisar usar o conceito de derivada para analisar o comportamento da função e garantir que ela cruza o eixo x apenas uma vez.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Basicamente, estamos procurando o valor de que faz com que a função seja igual a zero. Em outras palavras, queremos encontrar onde o gráfico da função cruza o eixo x.

Passo 3

Para provar que existe apenas uma raiz, vamos analisar a derivada de . A derivada nos ajuda a entender como a função está se comportando: se está aumentando ou diminuindo. Se a derivada for sempre positiva ou sempre negativa, isso indica que a função é estritamente crescente ou decrescente, respectivamente, o que nos ajuda a concluir sobre a unicidade da raiz.

Passo 4

Vamos calcular a derivada de :
Observamos que é sempre positiva para todo real, já que o denominador nunca é zero.

Passo 5

Então, para todo . Isso significa que a função é estritamente crescente em todo o seu domínio. Uma função estritamente crescente pode cruzar o eixo x no máximo uma vez.

Passo 6

Além disso, vamos verificar o comportamento da função em limites extremos para garantir que ela realmente cruza o eixo x.
  • Quando :
Então,
  • Quando :
Então, ( f(x) \to \frac{\pi}{2} + \infty - 1 = +\infty
]

Passo 7

Como é contínua (a soma de funções contínuas é contínua) e vai de a , pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um valor de onde .

Passo 8

Já que mostramos que é estritamente crescente e que ela passa de a , concluímos que ela cruza o eixo x exatamente uma vez. Portanto, a equação tem uma única raiz real.

Resposta

A equação possui uma única raiz real.

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Considere a sequência .
Calule o limite de usando regras de cálculo.
Considere a sequência de números reais definida por:
Calcule .
Prove que :
O conjunto não é limitado inferiormente.
Verifique que a função definida por partes
é a solução de no intervalo .