Considere a sequência de números reais definida por:
Prove que a sequência é limitada superiormente .

Passo 1

Então, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma sequência de números reais definida assim:
A tarefa é provar que essa sequência é limitada superiormente, ou seja, que existe um número que é maior que todos os termos da sequência. Para resolver isso, vamos usar conceitos de sequências e limites, além de aplicar indução matemática para mostrar que a sequência nunca ultrapassa um certo valor.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular os primeiros termos da sequência para ter uma ideia de como ela se comporta:
Parece que os termos estão se aproximando de 3. Vamos supor que 3 é um bom candidato para ser o limite superior da sequência.

Passo 3

Agora, vamos provar que 3 é realmente um limite superior para toda a sequência. Para isso, vamos usar o Princípio da Indução Matemática, que nos permite demonstrar que uma propriedade vale para todos os números naturais a partir de um certo ponto.
Passo 3.1: Base da Indução
Primeiro, verificamos se a afirmação é verdadeira para :
Portanto, a afirmação é verdadeira para .
Passo 3.2: Passo Indutivo
Agora, assumimos que a afirmação é verdadeira para algum termo , ou seja:
Queremos mostrar que isso implica que .
Cálculo de :
Pela nossa hipótese de indução, sabemos que . Então:
Portanto, se , então .

Passo 4

Com a base da indução estabelecida e o passo indutivo comprovado, podemos concluir, pelo Princípio da Indução Matemática, que para todo :
Isso significa que a sequência está sempre abaixo de 3, ou seja, é limitada superiormente por 3.

Resposta

A sequência é limitada superiormente por 3.

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Calcule .
Determine a equação da reta tangente à função no ponto indicado:
Seja . Provar que a equação possui três raízes reais.
Prove que:
.
.