Considere a sequência de números reais definida por:
Prove que a sequência
é limitada superiormente .
Passo 1
Então, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma sequência de números reais definida assim:
A tarefa é provar que essa sequência é limitada superiormente, ou seja, que existe um número que é maior que todos os termos da sequência. Para resolver isso, vamos usar conceitos de sequências e limites, além de aplicar indução matemática para mostrar que a sequência nunca ultrapassa um certo valor.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular os primeiros termos da sequência para ter uma ideia de como ela se comporta:
Parece que os termos estão se aproximando de 3. Vamos supor que 3 é um bom candidato para ser o limite superior da sequência.
Passo 3
Agora, vamos provar que 3 é realmente um limite superior para toda a sequência. Para isso, vamos usar o Princípio da Indução Matemática, que nos permite demonstrar que uma propriedade vale para todos os números naturais a partir de um certo ponto.
Passo 3.1: Base da Indução
Primeiro, verificamos se a afirmação é verdadeira para
:
Portanto, a afirmação é verdadeira para
.
Passo 3.2: Passo Indutivo
Agora, assumimos que a afirmação é verdadeira para algum termo
, ou seja:
Queremos mostrar que isso implica que
.
Cálculo de
:
Pela nossa hipótese de indução, sabemos que
. Então:
Portanto, se
, então
.
Passo 4
Com a base da indução estabelecida e o passo indutivo comprovado, podemos concluir, pelo Princípio da Indução Matemática, que para todo
:
Isso significa que a sequência
está sempre abaixo de 3, ou seja, é limitada superiormente por 3.
Resposta
A sequência
é limitada superiormente por 3.
Exercícios relacionados
Calcule
.
Determine a equação da reta tangente à função
no ponto indicado:
Seja
. Provar que a equação
possui três raízes reais.
Prove que:
.
.