Seja . Provar que a equação possui três raízes reais.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que temos aqui. A gente precisa provar que a equação , onde , tem três raízes reais. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como a derivada e o Teorema do Valor Intermediário.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o comportamento da função . Por ser um polinômio de terceiro grau, sabemos que o gráfico dela vai se estender do negativo ao positivo infinito, ou vice-versa.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de para encontrar os pontos críticos, que são onde a função pode ter máximos ou mínimos locais. A derivada de é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar os valores de que fazem :
Usando a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá duas soluções:

Passo 5

Vamos avaliar a função nesses pontos críticos para ver se a função muda de direção, indicando a presença de máximos e mínimos:
Para :
Para :

Passo 6

Observamos que a função tem valores negativos nos pontos críticos e tende a quando vai para e a quando vai para . Isso indica que a função cruza o eixo três vezes devido às mudanças de direção.

Resposta

Portanto, a equação possui três raízes reais.

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Considere a sequência de números reais definida por:
Prove que a sequência é limitada superiormente .
Calcule .
Prove que:
.
.
Seja . Provar que a equação possui três raízes reais.