Seja
. Provar que a equação
possui três raízes reais.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que temos aqui. A gente precisa provar que a equação
, onde
, tem três raízes reais. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como a derivada e o Teorema do Valor Intermediário.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o comportamento da função
. Por ser um polinômio de terceiro grau, sabemos que o gráfico dela vai se estender do negativo ao positivo infinito, ou vice-versa.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
para encontrar os pontos críticos, que são onde a função pode ter máximos ou mínimos locais. A derivada de
é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar os valores de
que fazem
:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá duas soluções:
Passo 5
Vamos avaliar a função
nesses pontos críticos para ver se a função muda de direção, indicando a presença de máximos e mínimos:
Para
:
Para
:
Passo 6
Observamos que a função tem valores negativos nos pontos críticos e tende a
quando
vai para
e a
quando
vai para
. Isso indica que a função cruza o eixo
três vezes devido às mudanças de direção.
Resposta
Portanto, a equação
possui três raízes reais.
Exercícios relacionados
Considere a sequência de números reais definida por:
Prove que a sequência
é limitada superiormente .
Calcule
.
Prove que:
.
.
Seja
. Provar que a equação
possui três raízes reais.