Prove que:
raiz[n]3^n.
lim n infty raiz[n]2^n+3^n=3.

Passo 1

Ok, vamos lá! O exercício pede para provar duas coisas envolvendo raízes de índices raiz[n]3^n < raiz[n]2^n + 3^n < raiz[n]3^n + 3^n e potências de números. Basicamente, vamos mostrar que:
limn infty raiz[n]2^n + 3^n = 3
E também calcular o limite quando tende ao infinito:
Para resolver isso, vamos precisar entender propriedades de potências e raízes, além de como lidar com limites.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar cada termo das desigualdades. Sabemos que raiz[n]3^n = 3 é igual a 3, porque a raiz enésima de cancela o expoente:

Passo 3

Agora, vamos simplificar 3^n + 3^n = 2 times 3^n . Somando raiz[n]2 times 3^n = raiz[n]2 times raiz[n]3^n = raiz[n]2 times 3 duas vezes, temos:
Então, a raiz enésima disso fica:
E sabemos que tende a 1 conforme cresce.

Passo 4

Agora, vamos olhar para o termo do meio . Precisamos comparar isso com os outros termos que já simplificamos. Observamos que está entre e , pois para todo .

Passo 5

Aplicando a raiz enésima a essa desigualdade, obtemos:
raiz[n]3^n < raiz[n]2^n + 3^n < raiz[n]2 times 3^n
Isso confirma a primeira parte que queríamos provar:
3 < raiz[n]2^n + 3^n < raiz[n]2 times 3

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito para . Observamos que, conforme aumenta, cresce muito mais rápido que . Então, é aproximadamente igual a para valores grandes de .

Passo 7

Portanto:
limn infty raiz[n]2^n + 3^n = limn infty raiz[n]3^n = 3
Isso porque a contribuição de se torna negligenciável em comparação com à medida que aumenta.

Resposta

3

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