Prove que:
.
.
Passo 1
Ok, vamos lá! O exercício pede para provar duas coisas envolvendo raízes de índices
e potências de números. Basicamente, vamos mostrar que:
E também calcular o limite quando
tende ao infinito:
Para resolver isso, vamos precisar entender propriedades de potências e raízes, além de como lidar com limites.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar cada termo das desigualdades. Sabemos que
é igual a 3, porque a raiz enésima de
cancela o expoente:
Passo 3
Agora, vamos simplificar
. Somando
duas vezes, temos:
Então, a raiz enésima disso fica:
E sabemos que
tende a 1 conforme
cresce.
Passo 4
Agora, vamos olhar para o termo do meio
. Precisamos comparar isso com os outros termos que já simplificamos. Observamos que
está entre
e
, pois
para todo
.
Passo 5
Aplicando a raiz enésima a essa desigualdade, obtemos:
Isso confirma a primeira parte que queríamos provar:
Passo 6
Agora, vamos calcular o limite quando
tende ao infinito para
. Observamos que, conforme
aumenta,
cresce muito mais rápido que
. Então,
é aproximadamente igual a
para valores grandes de
.
Passo 7
Portanto:
Isso porque a contribuição de
se torna negligenciável em comparação com
à medida que
aumenta.
Resposta
Exercícios relacionados
Seja
. Provar que a equação
possui três raízes reais.
Considere a sequência de números reais definida por:
Prove que a sequência
é limitada superiormente .
Seja
. Provar que a equação
possui três raízes reais.
Seja
. Localizar uma das raiz em um intervalo de comprimento 0.5.