Prove que:
.
.

Passo 1

Ok, vamos lá! O exercício pede para provar duas coisas envolvendo raízes de índices e potências de números. Basicamente, vamos mostrar que:
E também calcular o limite quando tende ao infinito:
Para resolver isso, vamos precisar entender propriedades de potências e raízes, além de como lidar com limites.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar cada termo das desigualdades. Sabemos que é igual a 3, porque a raiz enésima de cancela o expoente:

Passo 3

Agora, vamos simplificar . Somando duas vezes, temos:
Então, a raiz enésima disso fica:
E sabemos que tende a 1 conforme cresce.

Passo 4

Agora, vamos olhar para o termo do meio . Precisamos comparar isso com os outros termos que já simplificamos. Observamos que está entre e , pois para todo .

Passo 5

Aplicando a raiz enésima a essa desigualdade, obtemos:
Isso confirma a primeira parte que queríamos provar:

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito para . Observamos que, conforme aumenta, cresce muito mais rápido que . Então, é aproximadamente igual a para valores grandes de .

Passo 7

Portanto:
Isso porque a contribuição de se torna negligenciável em comparação com à medida que aumenta.

Resposta

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Seja . Provar que a equação possui três raízes reais.
Considere a sequência de números reais definida por:
Prove que a sequência é limitada superiormente .
Seja . Provar que a equação possui três raízes reais.
Seja . Localizar uma das raiz em um intervalo de comprimento 0.5.