Determine a equação da reta tangente à função no ponto indicado:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à função no ponto onde . Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente sobre derivadas e retas tangentes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma reta tangente. Uma reta tangente a uma função num ponto específico toca a curva exatamente nesse ponto e tem a mesma inclinação que a curva naquele ponto. Para encontrar essa reta, precisamos saber dois pedaços de informação:
  1. As coordenadas do ponto de tangência.
  2. A inclinação da reta tangente nesse ponto.

Passo 3

Vamos encontrar as coordenadas do ponto onde . Para isso, substituímos na função:
Então, o ponto de tangência é .

Passo 4

Agora, vamos descobrir a inclinação da reta tangente. A inclinação é dada pela derivada da função no ponto . A derivada de é:
Substituindo :
Então, a inclinação da reta tangente é 1.

Passo 5

Com a inclinação e o ponto, podemos usar a fórmula da reta:
Onde é a inclinação e é o ponto. Substituindo:
Simplificando:

Resposta

A equação da reta tangente é .

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Seja . Provar que a equação possui somente uma raíz real .
Seja . Calcular aproximadamente a raiz com precisão 0.005.
Calcule .
Considere a sequência de números reais definida por:
Prove que a sequência é limitada superiormente .