Considere a sequência de números reais definida por:
x1 := raiz(6), x2 := raiz(6 + raiz(6)), x3 := raiz(6 + raiz(6 + raiz(6))), ...
Aplique um Teorema de Convergência que garanta a existência do limite de x_n

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência definida de números reais onde cada termo é uma raiz quadrada que inclui o termo anterior. O conteúdo envolve sequências e convergência. Para resolver isso, vamos precisar usar um teorema que nos ajude a garantir se a sequência converge, ou seja, se ela tem um limite quando avançamos infinitamente nos termos.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a sequência:
Cada termo . Nossa meta é ver se essa sequência tem um limite quando tende ao infinito.

Passo 3

Para mostrar que a sequência converge, podemos usar o Teorema do Conjunto Ordenado (ou Teorema de Monotonicidade e Acotação). Esse teorema diz que se uma sequência é monotonicamente crescente e limitada acima, então ela converge para um limite finito.

Passo 4

Vamos verificar se a sequência é crescente. Isso significa que cada termo é maior ou igual ao anterior:
Vemos que e , sugerindo que a sequência é crescente.

Passo 5

Agora, vamos verificar se a sequência é limitada acima. Suponha que há um número tal que para todo . Observando os termos calculados, vemos que a sequência está se aproximando de 3. Vamos testar se 3 é um limite superior:
Portanto, todos os termos da sequência são menores que 3, então a sequência é limitada acima por 3.

Passo 6

Como a sequência é crescente e está limitada acima, pelo Teorema de Monotonicidade e Acotação, sabemos que converge para um limite .

Passo 7

Para encontrar o valor de , assumimos que . Então:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Reorganizando a equação:
Resolvendo a equação quadrática:
Como deve ser positivo, descartamos a solução negativa:

Resposta

O limite da sequência é 3.

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