Considere a sequência de números reais definida por:
Aplique um Teorema de Convergência que garanta a existência do limite de
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência definida de números reais onde cada termo é uma raiz quadrada que inclui o termo anterior. O conteúdo envolve sequências e convergência. Para resolver isso, vamos precisar usar um teorema que nos ajude a garantir se a sequência converge, ou seja, se ela tem um limite quando avançamos infinitamente nos termos.
Passo 2
Primeiro, vamos observar a sequência:
Cada termo
. Nossa meta é ver se essa sequência tem um limite quando
tende ao infinito.
Passo 3
Para mostrar que a sequência converge, podemos usar o Teorema do Conjunto Ordenado (ou Teorema de Monotonicidade e Acotação). Esse teorema diz que se uma sequência é monotonicamente crescente e limitada acima, então ela converge para um limite finito.
Passo 4
Vamos verificar se a sequência é crescente. Isso significa que cada termo é maior ou igual ao anterior:
Vemos que
e
, sugerindo que a sequência é crescente.
Passo 5
Agora, vamos verificar se a sequência é limitada acima. Suponha que há um número
tal que
para todo
. Observando os termos calculados, vemos que a sequência está se aproximando de 3. Vamos testar se 3 é um limite superior:
Portanto, todos os termos da sequência são menores que 3, então a sequência é limitada acima por 3.
Passo 6
Como a sequência é crescente e está limitada acima, pelo Teorema de Monotonicidade e Acotação, sabemos que
converge para um limite
.
Passo 7
Para encontrar o valor de
, assumimos que
. Então:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Reorganizando a equação:
Resolvendo a equação quadrática:
Como
deve ser positivo, descartamos a solução negativa:
Resposta
O limite da sequência
é 3.