Seja . Provar que a equação possui duas raízes reais.

Passo 1

Então, o problema que temos é mostrar que a equação , onde , tem duas raízes reais. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, para entender o comportamento da função e identificar onde ela cruza o eixo .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função . Observando os termos, vemos que é um polinômio de quarto grau. Sabemos que polinômios de grau par podem ter um número variável de raízes reais, dependendo de como eles se comportam no gráfico.

Passo 3

Para entender melhor o comportamento da função, vamos calcular a sua derivada primeira, que nos ajudará a encontrar os pontos onde a função tem máximos ou mínimos. A derivada de é:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar os pontos críticos resolvendo :
Resolver essa equação cúbica nos dará os valores de onde a função tem máximos ou mínimos locais.

Passo 5

Vamos tentar encontrar raízes racionais para a equação usando o teorema das raízes racionais. Testando :
Testando :
Então, é uma raiz.

Passo 6

Agora que encontramos uma raiz, podemos fatorar a derivada:
Observamos que o polinômio quadrático não tem raízes reais porque seu discriminante é negativo.

Passo 7

Portanto, a derivada tem apenas uma raiz real em . Isso indica que a função tem um único ponto de mínimo local.

Passo 8

Vamos calcular o valor de no ponto crítico :
Calculando isso, encontramos que .

Passo 9

Sabemos que para muito grande, tende a , e para muito pequeno, também tende a , já que o termo de maior grau é . Como tem um mínimo negativo, a função deve cruzar o eixo duas vezes: uma antes do mínimo e outra depois.

Passo 10

Assim, concluímos que a equação possui duas raízes reais.

Resposta

A equação possui duas raízes reais.

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