Seja
. Provar que a equação
possui duas raízes reais.
Passo 1
Então, o problema que temos é mostrar que a equação
, onde
, tem duas raízes reais. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, para entender o comportamento da função e identificar onde ela cruza o eixo
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função
. Observando os termos, vemos que é um polinômio de quarto grau. Sabemos que polinômios de grau par podem ter um número variável de raízes reais, dependendo de como eles se comportam no gráfico.
Passo 3
Para entender melhor o comportamento da função, vamos calcular a sua derivada primeira, que nos ajudará a encontrar os pontos onde a função tem máximos ou mínimos. A derivada de
é:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar os pontos críticos resolvendo
:
Resolver essa equação cúbica nos dará os valores de
onde a função
tem máximos ou mínimos locais.
Passo 5
Vamos tentar encontrar raízes racionais para a equação
usando o teorema das raízes racionais. Testando
:
Testando
:
Então,
é uma raiz.
Passo 6
Agora que encontramos uma raiz, podemos fatorar a derivada:
Observamos que o polinômio quadrático
não tem raízes reais porque seu discriminante
é negativo.
Passo 7
Portanto, a derivada
tem apenas uma raiz real em
. Isso indica que a função
tem um único ponto de mínimo local.
Passo 8
Vamos calcular o valor de
no ponto crítico
:
Calculando isso, encontramos que
.
Passo 9
Sabemos que para
muito grande,
tende a
, e para
muito pequeno, também tende a
, já que o termo de maior grau é
. Como
tem um mínimo negativo, a função deve cruzar o eixo
duas vezes: uma antes do mínimo e outra depois.
Passo 10
Assim, concluímos que a equação
possui duas raízes reais.
Resposta
A equação
possui duas raízes reais.
Exercícios relacionados
Seja
. Localizar uma das raiz em um intervalo de comprimento 0.5.
Seja
. Provar que a equação
possui três raízes reais.
Considere a sequência de números reais definida por:
Aplique um Teorema de Convergência que garanta a existência do limite de
No exercício 33 a escolha de
é arbitrária.
Determine para cada um dos itens do exercicio supondo sempre que
.
Determine