Dadas as sequências a_n e b_n, com an = raiz(n + 1) - raiz(n), bn = log(1 + 1/n), mostre que an -> 0 e b_n -> 0, quando n -> infinito.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas sequências:
O objetivo é mostrar que, quando vai para o infinito ( ), tanto quanto se aproximam de 0. Para isso, vamos usar conceitos de limites e propriedades de funções como a raiz quadrada e o logaritmo.

Passo 2

Vamos começar analisando a sequência . A ideia aqui é simplificar essa expressão para facilitar o cálculo do limite.
Primeiro, multiplicamos e dividimos por para racionalizar a diferença de raízes:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite de quando tende a infinito:
À medida que aumenta, também aumenta sem limite. Então, o denominador cresce sem parar, fazendo com que toda a fração diminua.
Podemos observar que:
Portanto:

Passo 4

Agora vamos para a sequência . Queremos encontrar o limite quando vai para infinito.
Sabemos que, para valores pequenos de , temos a aproximação:
Isso é útil porque, quando cresce, fica bem pequeno. Então:

Passo 5

Vamos calcular o limite de quando tende a infinito:
Como tende a 0 quando tende a infinito, temos:

Resposta

Portanto, quando tende a infinito, ambas as sequências e se aproximam de 0.

Exercícios relacionados