Dadas as sequências
e
, com
, mostre que
e
, quando
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas sequências:
O objetivo é mostrar que, quando
vai para o infinito (
), tanto
quanto
se aproximam de 0. Para isso, vamos usar conceitos de limites e propriedades de funções como a raiz quadrada e o logaritmo.
Passo 2
Vamos começar analisando a sequência
. A ideia aqui é simplificar essa expressão para facilitar o cálculo do limite.
Primeiro, multiplicamos e dividimos por
para racionalizar a diferença de raízes:
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite de
quando
tende a infinito:
À medida que
aumenta,
também aumenta sem limite. Então, o denominador cresce sem parar, fazendo com que toda a fração diminua.
Podemos observar que:
Portanto:
Passo 4
Agora vamos para a sequência
. Queremos encontrar o limite quando
vai para infinito.
Sabemos que, para valores pequenos de
, temos a aproximação:
Isso é útil porque, quando
cresce,
fica bem pequeno. Então:
Passo 5
Vamos calcular o limite de
quando
tende a infinito:
Como
tende a 0 quando
tende a infinito, temos:
Resposta
Portanto, quando
tende a infinito, ambas as sequências
e
se aproximam de 0.
Exercícios relacionados
No exercício 33 a escolha de
é arbitrária.
Determine para cada um dos itens do exercicio supondo sempre que
.
Determine
Considere a sequência de números reais definida por:
Aplique um Teorema de Convergência que garanta a existência do limite de
Encontre o centróide da região delimitada pelos gráficos das equações dadas.
(d) .
(d)
Calcule os limites abaixo.