Considere a sequência
, tal que
, para
e
. Prove que a sequência é convergente e que
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma sequência definida por frações
onde os primeiros termos
e
são ambos iguais a 1. A partir de
, cada termo é calculado usando as relações
e
. O objetivo aqui é mostrar que essa sequência converge e que o limite é
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de sequências recorrentes e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar a sequência de forma mais clara. Sabemos que:
Isso simplifica para:
Agora, vamos assumir que a sequência converge para algum limite
. Ou seja:
Passo 3
Com a hipótese de que a sequência converge para
, podemos substituir
por
na equação anterior:
Substituindo
por
, temos:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de
:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Expandindo o lado esquerdo:
Subtraindo
de ambos os lados:
Então:
(Desconsideramos a solução negativa porque estamos lidando com relações de frações positivas.)
Passo 5
Para confirmar que a sequência realmente converge para
, podemos verificar se a sequência é monótona e está limitada. Observando as relações de
e
, percebemos que ambos aumentam com
, e a razão
se aproxima de um valor fixo, que já determinamos ser
. Portanto, concluímos que a sequência é convergente.
Resposta
A sequência
converge e o limite é
.
Exercícios relacionados
Sejam
e
sequências numéricas. Decida se cada afirmacão abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta. Se
e
não converge então
não converge.
Mostre que:
.
Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.
Sejam
e
sequências numéricas. Decida se cada afirmacão abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta. Se
então
.