Considere a sequência (pnqn)n in N, tal que p1=q1=1 e, para n >= 2, pn=pn-1+2 qn-1 e qn=pn-1+qn-1. Prove que a sequência é convergente e que lim pnqn=raiz2.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma sequência definida por frações (pnqn) onde os primeiros termos p1 e q1 são ambos iguais a 1. A partir de n >= 2, cada termo é calculado usando as relações pn = pn-1 + 2 qn-1 e qn = pn-1 + qn-1. O objetivo aqui é mostrar que essa sequência converge e que o limite é raiz2. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de sequências recorrentes e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar a sequência de forma mais clara. Sabemos que:
pnqn = pn-1 + 2 qn-1pn-1 + qn-1
Isso simplifica para:
pnqn = 1 + qn-1pn-1 + qn-1
Agora, vamos assumir que a sequência converge para algum limite L. Ou seja:
limn to infty pnqn = L

Passo 3

Com a hipótese de que a sequência converge para L, podemos substituir pn-1qn-1 por L na equação anterior:
L = pnqn = pn-1 + 2 qn-1pn-1 + qn-1 = pn-1qn-1 + 2pn-1qn-1 + 1
Substituindo pn-1qn-1 por L, temos:
L = L + 2L + 1

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de L:
L = L + 2L + 1
Multiplicando ambos os lados por (L + 1) para eliminar o denominador:
L(L + 1) = L + 2
Expandindo o lado esquerdo:
L^2 + L = L + 2
Subtraindo L + 2 de ambos os lados:
L^2 + L - L - 2 = 0 implies L^2 - 2 = 0
Então:
L^2 = 2 implies L = raiz2
(Desconsideramos a solução negativa porque estamos lidando com relações de frações positivas.)

Passo 5

Para confirmar que a sequência realmente converge para raiz2, podemos verificar se a sequência é monótona e está limitada. Observando as relações de pn e qn, percebemos que ambos aumentam com n, e a razão pnqn se aproxima de um valor fixo, que já determinamos ser raiz2. Portanto, concluímos que a sequência é convergente.

Resposta

A sequência (pnqn) converge e o limite é raiz2.

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