Considere a sequência , tal que , para e . Prove que a sequência é convergente e que .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma sequência definida por frações onde os primeiros termos e são ambos iguais a 1. A partir de , cada termo é calculado usando as relações e . O objetivo aqui é mostrar que essa sequência converge e que o limite é . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de sequências recorrentes e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar a sequência de forma mais clara. Sabemos que:
Isso simplifica para:
Agora, vamos assumir que a sequência converge para algum limite . Ou seja:

Passo 3

Com a hipótese de que a sequência converge para , podemos substituir por na equação anterior:
Substituindo por , temos:

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de :
Multiplicando ambos os lados por para eliminar o denominador:
Expandindo o lado esquerdo:
Subtraindo de ambos os lados:
Então:
(Desconsideramos a solução negativa porque estamos lidando com relações de frações positivas.)

Passo 5

Para confirmar que a sequência realmente converge para , podemos verificar se a sequência é monótona e está limitada. Observando as relações de e , percebemos que ambos aumentam com , e a razão se aproxima de um valor fixo, que já determinamos ser . Portanto, concluímos que a sequência é convergente.

Resposta

A sequência converge e o limite é .

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Sejam e sequências numéricas. Decida se cada afirmacão abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta. Se e não converge então não converge.
Mostre que: .
Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.
Sejam e sequências numéricas. Decida se cada afirmacão abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta. Se então .