Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma sequência definida por um produto de termos do tipo , começando de até . O conteúdo principal aqui é sequências e séries, e vamos precisar usar um pouco de análise de limites e produtos telescópicos para resolver essa questão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor os termos da sequência. Cada termo da sequência é dado por:
Vamos simplificar cada fator individualmente. Note que:

Passo 3

Substituindo essa simplificação na expressão de , temos:
Vamos expandir esse produto para visualizar melhor:

Passo 4

Agora, vamos observar que há um telescópio nesse produto. Muitas coisas vão se cancelar quando a gente multiplica tudo:
  • O 2 do numerador do primeiro termo cancela com o 2 do denominador do segundo termo.
  • O 3 do numerador do segundo termo cancela com o 3 do denominador do terceiro termo.
  • Isso continua até o final.
No final das contas, sobra apenas o 1 do primeiro numerador e o do último numerador, além dos do primeiro denominador e o do último denominador. Então, o produto simplifica para:

Passo 5

Agora, queremos saber se essa sequência converge ou diverge quando tende ao infinito. Vamos calcular o limite:

Resposta

A sequência é convergente e seu limite é .

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Considere a sequência , tal que , para e . Prove que a sequência é convergente e que .
Sejam e sequências numéricas. Decida se cada afirmacão abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta. Se e não converge então não converge.
Sejam e sequências numéricas. Decida se cada afirmacão abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta. Se então .
Mostre que