Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma sequência definida por um produto de termos do tipo
, começando de
até
. O conteúdo principal aqui é sequências e séries, e vamos precisar usar um pouco de análise de limites e produtos telescópicos para resolver essa questão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor os termos da sequência. Cada termo da sequência é dado por:
Vamos simplificar cada fator individualmente. Note que:
Passo 3
Substituindo essa simplificação na expressão de
, temos:
Vamos expandir esse produto para visualizar melhor:
Passo 4
Agora, vamos observar que há um telescópio nesse produto. Muitas coisas vão se cancelar quando a gente multiplica tudo:
- O 2 do numerador do primeiro termo cancela com o 2 do denominador do segundo termo.
- O 3 do numerador do segundo termo cancela com o 3 do denominador do terceiro termo.
- Isso continua até o final.
No final das contas, sobra apenas o 1 do primeiro numerador e o
do último numerador, além dos
do primeiro denominador e o
do último denominador. Então, o produto simplifica para:
Passo 5
Agora, queremos saber se essa sequência
converge ou diverge quando
tende ao infinito. Vamos calcular o limite:
Resposta
A sequência
é convergente e seu limite é
.
Exercícios relacionados
Considere a sequência
, tal que
, para
e
. Prove que a sequência é convergente e que
.
Sejam
e
sequências numéricas. Decida se cada afirmacão abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta. Se
e
não converge então
não converge.
Sejam
e
sequências numéricas. Decida se cada afirmacão abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta. Se
então
.
Mostre que