Mostre que: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que quando fica bem grande, a expressão se aproxima de . A matéria que vamos usar aqui é o limite de sequências envolvendo exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões que se aproximam de usando propriedades de potências e logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que pode ser definido pelo limite:
A nossa expressão é um pouco diferente, mas podemos tentar relacioná-la com essa definição.

Passo 3

Vamos reescrever a expressão que queremos analisar:
Podemos notar que a base da potência é , que se assemelha à base que usamos para definir , mas com um denominador diferente.

Passo 4

Para facilitar, vamos fazer uma substituição. Seja . Assim, quando vai para o infinito, também vai para o infinito. Agora, substituímos por na nossa expressão:

Passo 5

Agora, observe que:
Como temos a potência , podemos reescrever a expressão como:

Passo 6

Agora, aplicamos o limite:

Resposta

Portanto, .

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Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.
Sejam e sequências numéricas. Decida se cada afirmacão abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta. Se então e convergem.
Sejam e sequências numéricas. Decida se cada afirmacão abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta. Se e não converge então não converge.
Considere a sequência , tal que , para e . Prove que a sequência é convergente e que .