Mostre que: (1 + 1/(2n))^n → raiz(e).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que quando fica bem grande, a expressão se aproxima de . A matéria que vamos usar aqui é o limite de sequências envolvendo exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões que se aproximam de usando propriedades de potências e logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que pode ser definido pelo limite:
A nossa expressão é um pouco diferente, mas podemos tentar relacioná-la com essa definição.

Passo 3

Vamos reescrever a expressão que queremos analisar:
Podemos notar que a base da potência é , que se assemelha à base que usamos para definir , mas com um denominador diferente.

Passo 4

Para facilitar, vamos fazer uma substituição. Seja . Assim, quando vai para o infinito, também vai para o infinito. Agora, substituímos por na nossa expressão:

Passo 5

Agora, observe que:
Como temos a potência , podemos reescrever a expressão como:

Passo 6

Agora, aplicamos o limite:

Resposta

Portanto, .

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