Mostre que:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que quando
fica bem grande, a expressão
se aproxima de
. A matéria que vamos usar aqui é o limite de sequências envolvendo exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões que se aproximam de
usando propriedades de potências e logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
pode ser definido pelo limite:
A nossa expressão é um pouco diferente, mas podemos tentar relacioná-la com essa definição.
Passo 3
Vamos reescrever a expressão que queremos analisar:
Podemos notar que a base da potência é
, que se assemelha à base
que usamos para definir
, mas com um denominador diferente.
Passo 4
Para facilitar, vamos fazer uma substituição. Seja
. Assim, quando
vai para o infinito,
também vai para o infinito. Agora, substituímos
por
na nossa expressão:
Passo 5
Agora, observe que:
Como temos a potência
, podemos reescrever a expressão como:
Passo 6
Agora, aplicamos o limite:
Resposta
Portanto,
.
Exercícios relacionados
Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.
Sejam
e
sequências numéricas. Decida se cada afirmacão abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta. Se
então
e
convergem.
Sejam
e
sequências numéricas. Decida se cada afirmacão abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta. Se
e
não converge então
não converge.
Considere a sequência
, tal que
, para
e
. Prove que a sequência é convergente e que
.