Sejam
e
sequências numéricas. Decida se cada afirmacão abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta. Se
e
não converge então
não converge.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas sequências numéricas,
e
. A afirmação que precisamos analisar diz que se
converge para algum número
e
não converge, então a soma dessas duas sequências,
, também não converge. Vamos usar conceitos de convergência de sequências para checar se essa afirmação é verdadeira ou falsa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma sequência convergir. Dizemos que uma sequência
converge para
se, conforme
cresce, os termos de
ficam cada vez mais próximos de
. Formalmente, para todo
, existe um número
tal que para todo
,
.
Passo 3
Agora, se
não converge, isso significa que seus termos não se aproximam de nenhum número específico à medida que
cresce. A sequência pode oscilar, crescer sem limite, ou ter comportamentos mais complicados que impedem sua convergência.
Passo 4
Vamos considerar a sequência
. Sabemos que se
converge para
e
converge para
, então
converge para
. Isso é conhecido como a propriedade de linearidade da convergência de sequências.
Passo 5
Mas e se
não converge? Mesmo que
esteja convergindo, a falta de convergência de
pode afetar a soma
. Se
não tem um limite, a soma não conseguirá estabilizar em um único valor, já que uma das partes está sempre “indecisa”.
Passo 6
Vamos dar um exemplo para ilustrar. Suponha que
, que converge para 0. E
, que não converge porque oscila entre 1 e -1. Então,
também não converge, já que continua oscilando entre valores próximos a 1 e -1.
Resposta
A afirmação é verdadeira. Se
converge e
não converge, então a soma
também não converge.
Exercícios relacionados
Mostre que:
.
Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.
Considere a sequência
, tal que
, para
e
. Prove que a sequência é convergente e que
.
Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.