Sejam (a_n)_{n ∈ N} e (b_n)_{n em N} sequências numéricas. Decida se cada afirmacão abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta. Se an -> a e (b_n)_{n em N} não converge então (a_n + b_n)_{n em N} não converge.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas sequências numéricas, e . A afirmação que precisamos analisar diz que se converge para algum número e não converge, então a soma dessas duas sequências, , também não converge. Vamos usar conceitos de convergência de sequências para checar se essa afirmação é verdadeira ou falsa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma sequência convergir. Dizemos que uma sequência converge para se, conforme cresce, os termos de ficam cada vez mais próximos de . Formalmente, para todo , existe um número tal que para todo , .

Passo 3

Agora, se não converge, isso significa que seus termos não se aproximam de nenhum número específico à medida que cresce. A sequência pode oscilar, crescer sem limite, ou ter comportamentos mais complicados que impedem sua convergência.

Passo 4

Vamos considerar a sequência . Sabemos que se converge para e converge para , então converge para . Isso é conhecido como a propriedade de linearidade da convergência de sequências.

Passo 5

Mas e se não converge? Mesmo que esteja convergindo, a falta de convergência de pode afetar a soma . Se não tem um limite, a soma não conseguirá estabilizar em um único valor, já que uma das partes está sempre “indecisa”.

Passo 6

Vamos dar um exemplo para ilustrar. Suponha que , que converge para 0. E , que não converge porque oscila entre 1 e -1. Então, também não converge, já que continua oscilando entre valores próximos a 1 e -1.

Resposta

A afirmação é verdadeira. Se converge e não converge, então a soma também não converge.

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