Se e , com , prove que existe tal que implica .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está perguntando sobre limites de sequências. A gente tem duas sequências, e , que convergem para e , respectivamente, e sabemos que é menor que . O objetivo é mostrar que, a partir de um certo ponto na sequência (digamos, depois de ), todos os termos de serão menores que os termos correspondentes de . Para resolver isso, vamos usar a definição de limite de uma sequência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dizer que . Significa que para qualquer número pequeno , existe um índice tal que, para todo , a distância entre e é menor que . Ou seja:
Isso basicamente diz que os termos de ficam tão próximos de quanto quisermos, se escolhermos suficientemente grande.

Passo 3

Do mesmo jeito, para a sequência que converge para , temos que para qualquer , existe um índice tal que, para todo ,
Ou seja, os termos de ficam muito próximos de quando é grande.

Passo 4

Agora, como sabemos que , a diferença é positiva. Vamos escolher um que seja menor que metade dessa diferença para facilitar os cálculos. Então, vamos definir:
Isso garante que , já que .

Passo 5

Com esse , aplicamos as definições de limite para as duas sequências. Temos que existe um tal que para todo ,
E existe um tal que para todo ,
Também sabemos que:

Passo 6

Vamos agora relacionar essas desigualdades. Como , temos:
Portanto, .

Passo 7

Agora, combinando as desigualdades das sequências, para , temos:
Isso mostra claramente que para todo maior que algum .

Resposta

Existe um número natural tal que para todo , .

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Sejam e conjuntos não vazios de números reais tais que . Prove que , se, e somente se, para todo , existem e tais que .
Considere a sequência definida por . Mostre que ela é crescente e limitada.
Mostre que toda sequência monótona e limitada é convergente.
Mostre que , com .