Se
e
, com
, prove que existe
tal que
implica
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está perguntando sobre limites de sequências. A gente tem duas sequências,
e
, que convergem para
e
, respectivamente, e sabemos que
é menor que
. O objetivo é mostrar que, a partir de um certo ponto na sequência (digamos, depois de
), todos os termos de
serão menores que os termos correspondentes de
. Para resolver isso, vamos usar a definição de limite de uma sequência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa dizer que
. Significa que para qualquer número pequeno
, existe um índice
tal que, para todo
, a distância entre
e
é menor que
. Ou seja:
Isso basicamente diz que os termos de
ficam tão próximos de
quanto quisermos, se escolhermos
suficientemente grande.
Passo 3
Do mesmo jeito, para a sequência
que converge para
, temos que para qualquer
, existe um índice
tal que, para todo
,
Ou seja, os termos de
ficam muito próximos de
quando
é grande.
Passo 4
Agora, como sabemos que
, a diferença
é positiva. Vamos escolher um
que seja menor que metade dessa diferença para facilitar os cálculos. Então, vamos definir:
Isso garante que
, já que
.
Passo 5
Com esse
, aplicamos as definições de limite para as duas sequências. Temos que existe um
tal que para todo
,
E existe um
tal que para todo
,
Também sabemos que:
Passo 6
Vamos agora relacionar essas desigualdades. Como
, temos:
Portanto,
.
Passo 7
Agora, combinando as desigualdades das sequências, para
, temos:
Isso mostra claramente que
para todo
maior que algum
.
Resposta
Existe um número natural
tal que para todo
,
.
Exercícios relacionados
Sejam
e
conjuntos não vazios de números reais tais que
. Prove que
, se, e somente se, para todo
, existem
e
tais que
.
Considere a sequência
definida por
. Mostre que ela é crescente e limitada.
Mostre que toda sequência monótona e limitada é convergente.
Mostre que
, com
.