Considere a sequência:
raiz(12), raiz(12 + raiz(12)), raiz(12 + raiz(12 + raiz(12))), raiz(12 + raiz(12 + raiz(12 + raiz(12))))
a) Ache uma fórmula recursiva para a_{n+1}.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma sequência que começa com e a cada termo seguinte, adiciona mais uma raiz quadrada envolvendo o número 12. O conteúdo que vamos usar aqui é de sequências recursivas, que são sequências definidas em termos de seus elementos anteriores. Para resolver, vamos precisar identificar como cada termo da sequência se relaciona com o anterior.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma fórmula recursiva. Em uma sequência recursiva, cada termo é definido com base no termo que veio antes dele. Ou seja, para encontrar o próximo termo, a gente usa o termo atual.

Passo 3

Observando a sequência dada:
Vemos que cada novo termo é a raiz quadrada de 12 mais o termo anterior. Por exemplo:
E assim por diante.

Passo 4

Com base nisso, podemos generalizar a relação entre os termos. Se considerarmos que representa o n-ésimo termo da sequência, então o próximo termo é a raiz quadrada de 12 mais . Isso nos dá a fórmula recursiva.

Resposta

A fórmula recursiva para é:

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