Determine o domínio e a imagem da função e desenhe um esboço de seu gráfico.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o domínio e a imagem da função dada, além de esboçar o gráfico dela. Vamos trabalhar com funções definidas por partes, que é o conteúdo principal aqui. Para isso, vamos precisar entender como cada parte da função se comporta e como elas se encaixam.
Passo 2
Dominio da função
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Olhando para a função dada:
Temos duas partes:
-
válida para -
válida para
Ambas as expressões são definidas para todos os valores de
em seus respectivos intervalos. Portanto, o domínio será todos os números reais.
Passo 3
Imagem da função
A imagem da função é o conjunto de todos os valores que
pode assumir. Vamos analisar cada parte separadamente.
-
Para
: A função é. Como é sempre positivo ou zero, terá valores maiores ou iguais a . Porém, comoestá menor que 1, podemos verificar o comportamento próximo a : Então,varia de a quando . -
Para
: A função é. Essa é uma função linear crescente sem limites superiores, então vai de a :
Portanto, a imagem da função é
.
Passo 4
Esboço do gráfico
Para desenhar o gráfico, vamos plotar as duas partes da função:
-
Para
: Gráfica da parábola, que abre para cima e intercepta o eixo em . Apenas consideramos a parte da parábola onde . -
Para
: Gráfica da reta, começando em com e indo para cima à medida que aumenta.
No ponto
, há uma descontinuidade, já que a primeira parte da função se aproxima de
e a segunda parte começa em
.
Resposta
Domínio:
(todos os números reais)
Imagem:
Esboço do Gráfico: [Gráfico representando as duas partes descritas acima]