Determine o domínio e a imagem da função e desenhe um esboço de seu gráfico.
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o domínio e a imagem da função dada, além de esboçar o gráfico dela. Vamos trabalhar com funções definidas por partes, que é o conteúdo principal aqui. Para isso, vamos precisar entender como cada parte da função se comporta e como elas se encaixam.

Passo 2

Dominio da função
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Olhando para a função dada:
Temos duas partes:
  1. válida para
  2. válida para
Ambas as expressões são definidas para todos os valores de em seus respectivos intervalos. Portanto, o domínio será todos os números reais.

Passo 3

Imagem da função
A imagem da função é o conjunto de todos os valores que pode assumir. Vamos analisar cada parte separadamente.
  1. Para :
    A função é . Como é sempre positivo ou zero, terá valores maiores ou iguais a .
    Porém, como está menor que 1, podemos verificar o comportamento próximo a :
    Então, varia de a quando .
  2. Para :
    A função é . Essa é uma função linear crescente sem limites superiores, então vai de a :
Portanto, a imagem da função é .

Passo 4

Esboço do gráfico
Para desenhar o gráfico, vamos plotar as duas partes da função:
  1. Para :
    Gráfica da parábola , que abre para cima e intercepta o eixo em . Apenas consideramos a parte da parábola onde .
  2. Para :
    Gráfica da reta , começando em com e indo para cima à medida que aumenta.
No ponto , há uma descontinuidade, já que a primeira parte da função se aproxima de e a segunda parte começa em .

Resposta

Domínio: (todos os números reais)
Imagem:
Esboço do Gráfico: [Gráfico representando as duas partes descritas acima]

Exercícios relacionados

Determinar:
(a) o fluxo do campo através da superfície fronteira do sólido limitado pelas esferas e , orientadas com sentidos opostos ( aponta para fora de ).
As funções e são definidas abaixo. Defina, para cadá item, as funç oes ; ; ; ; . A seguir, determine o domínio da função resultante:
e
Consideremos a superfície obtida girando o círculo , em torno do eixo . Esta é a superfície do Toro. Determine:
(b) É possível determinar a área de ? Se sim, quanto é?
Considere a sequência:
a) Ache uma fórmula recursiva para .