Consideremos a superfície obtida girando o círculo , em torno do eixo . Esta é a superfície do Toro. Determine:
(b) É possível determinar a área de ? Se sim, quanto é?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma superfície chamada toro, que é formada ao girar um círculo específico ao redor do eixo . Nosso objetivo aqui é descobrir se dá para calcular a área dessa superfície e, se sim, qual é essa área. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre geometria de superfícies geradas por rotação e usar fórmulas de cálculo para determinar a área.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o que é essa superfície . Temos o círculo dado pela equação , onde . Isso significa que temos um círculo de raio deslocado ao longo do eixo em uma distância .
Quando giramos esse círculo ao redor do eixo , ele gera uma forma tridimensional chamada toro. Imagine um donut: ele é um exemplo clássico de toro. O toro tem dois “raios”: um raio maior que vai do centro do “donut” ao centro do tubo, e um raio menor que é o raio do próprio tubo.

Passo 3

Agora, para encontrar a área dessa superfície, vamos usar a fórmula da área de uma superfície de revolução. Quando você tem uma curva no plano e a gira em torno de um eixo, a área da superfície gerada pode ser calculada usando integração.
Para um toro, que é uma superfície de revolução de um círculo, a fórmula da área é dada por:
Aqui, é o raio maior (a distância do centro da rotação ao centro do tubo do toro) e é o raio menor (o raio do tubo do toro).

Passo 4

Vamos entender de onde vem essa fórmula. Quando giramos o círculo em torno do eixo , cada ponto do círculo descreve um caminho circular no espaço, formando assim a superfície do toro.
A área infinitesimal de uma faixa do círculo é , e como essa faixa gira em um círculo maior de raio , percorre um ângulo de . Multiplicando essas duas contribuições, obtemos:

Resposta

Sim, é possível determinar a área de . A área da superfície do toro é:

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Determine o domínio e a imagem da função e desenhe um esboço de seu gráfico.
.
Determinar:
(a) o fluxo do campo através da superfície fronteira do sólido limitado pelas esferas e , orientadas com sentidos opostos ( aponta para fora de ).
Considere a sequência:
a) Ache uma fórmula recursiva para .
Em cada item abaixo, escreva uma parametrização para a superfície:
(a) do plano que passa pela origem que contém e .