Consideremos a superfície
obtida girando o círculo
, em torno do eixo
. Esta é a superfície do Toro. Determine:
(b) É possível determinar a área de
? Se sim, quanto é?
(b) É possível determinar a área de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma superfície chamada toro, que é formada ao girar um círculo específico ao redor do eixo
. Nosso objetivo aqui é descobrir se dá para calcular a área dessa superfície e, se sim, qual é essa área. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre geometria de superfícies geradas por rotação e usar fórmulas de cálculo para determinar a área.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o que é essa superfície
. Temos o círculo dado pela equação
, onde
. Isso significa que temos um círculo de raio
deslocado ao longo do eixo
em uma distância
.
Quando giramos esse círculo ao redor do eixo
, ele gera uma forma tridimensional chamada toro. Imagine um donut: ele é um exemplo clássico de toro. O toro tem dois “raios”: um raio maior
que vai do centro do “donut” ao centro do tubo, e um raio menor
que é o raio do próprio tubo.
Passo 3
Agora, para encontrar a área dessa superfície, vamos usar a fórmula da área de uma superfície de revolução. Quando você tem uma curva no plano e a gira em torno de um eixo, a área da superfície gerada pode ser calculada usando integração.
Para um toro, que é uma superfície de revolução de um círculo, a fórmula da área
é dada por:
Aqui,
é o raio maior (a distância do centro da rotação ao centro do tubo do toro) e
é o raio menor (o raio do tubo do toro).
Passo 4
Vamos entender de onde vem essa fórmula. Quando giramos o círculo
em torno do eixo
, cada ponto do círculo descreve um caminho circular no espaço, formando assim a superfície do toro.
A área infinitesimal de uma faixa do círculo é
, e como essa faixa gira em um círculo maior de raio
, percorre um ângulo de
. Multiplicando essas duas contribuições, obtemos:
Resposta
Sim, é possível determinar a área de
. A área da superfície do toro é:
Exercícios relacionados
Determine o domínio e a imagem da função e desenhe um esboço de seu gráfico.
.
Determinar:
(a) o fluxo do campo através da superfície fronteira do sólido
limitado pelas esferas
e
, orientadas com sentidos opostos (
aponta para fora de
).
(a) o fluxo do campo
Considere a sequência:
a) Ache uma fórmula recursiva para
.
Em cada item abaixo, escreva uma parametrização para a superfície:
(a) do plano que passa pela origem que contém e
.
(a) do plano que passa pela origem que contém