(b) Determine a equação do plano tangente à no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar a equação do plano tangente à superfície no ponto . Estamos lidando com superfícies parametrizadas, que fazem parte do estudo de cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar vetores tangentes à superfície e, a partir deles, determinar o plano tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o ponto . Substituindo e na parametrização da superfície:
Então, o ponto de interesse é .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os vetores tangentes à superfície no ponto . Para isso, calculamos as derivadas parciais de em relação a e :
Passo 4
Em seguida, avaliamos essas derivadas no ponto :
Passo 5
Com esses vetores tangentes, podemos encontrar o vetor normal ao plano tangente usando o produto vetorial:
Calculando o determinante:
Passo 6
Agora que temos o vetor normal e o ponto , podemos escrever a equação do plano tangente. A equação geral de um plano é:
Onde são as componentes do vetor normal e é o ponto conhecido.