Seja S1 a superfície parametrizada por
psi: [0, 2 pi] x [0, infinito] -> R^3 ; psi(u, v) = (v cos u, v sen u, 1 - v^2)
(b) Determine a equação do plano tangente à S1 no ponto psi(0,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar a equação do plano tangente à superfície no ponto . Estamos lidando com superfícies parametrizadas, que fazem parte do estudo de cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar vetores tangentes à superfície e, a partir deles, determinar o plano tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o ponto . Substituindo e na parametrização da superfície:
Então, o ponto de interesse é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os vetores tangentes à superfície no ponto . Para isso, calculamos as derivadas parciais de em relação a e :

Passo 4

Em seguida, avaliamos essas derivadas no ponto :

Passo 5

Com esses vetores tangentes, podemos encontrar o vetor normal ao plano tangente usando o produto vetorial:
Calculando o determinante:

Passo 6

Agora que temos o vetor normal e o ponto , podemos escrever a equação do plano tangente. A equação geral de um plano é:
Onde são as componentes do vetor normal e é o ponto conhecido.
Substituindo os valores:
Simplificando:

Resposta

A equação do plano tangente à no ponto é .

Exercícios relacionados