Considere a sequência de termo geral dado por
. Mostre que
é convergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma sequência com termo geral
. Nosso objetivo é mostrar que essa sequência
é convergente. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre sequências convergentes e manipular produtos de termos ímpares e pares.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão do termo geral
. Observamos que:
Podemos reescrever o denominador como
, já que
. O numerador é o produto dos primeiros
números ímpares.
Passo 3
Vamos expressar o numerador em termos de
. Sabemos que:
Isso porque
inclui todos os números de 1 a
, e ao dividir por
, removemos os fatores pares.
Passo 4
Substituindo de volta na expressão de
:
Isso nos dá uma forma simplificada do termo geral da sequência.
Passo 5
Para mostrar que
é convergente, vamos analisar o limite quando
tende ao infinito. Usamos a fórmula de Wallis para sequências envolvendo
, que nos diz que:
Embora nessa expressão apareça uma raiz, o importante é notar que o limite da nossa sequência tende a um valor finito.
Passo 6
Portanto, concluímos que:
Isso significa que a sequência
é convergente e converge para 0.
Resposta
A sequência
é convergente e seu limite é 0.