Considere a sequência de termo geral dado por a_n = (1 * 3 * 5 * 7 * ... * (2n - 1)) / (2 * 4 * 6 * ... * 2n). Mostre que a_n é convergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma sequência com termo geral . Nosso objetivo é mostrar que essa sequência é convergente. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre sequências convergentes e manipular produtos de termos ímpares e pares.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão do termo geral . Observamos que:
Podemos reescrever o denominador como , já que . O numerador é o produto dos primeiros números ímpares.

Passo 3

Vamos expressar o numerador em termos de . Sabemos que:
Isso porque inclui todos os números de 1 a , e ao dividir por , removemos os fatores pares.

Passo 4

Substituindo de volta na expressão de :
Isso nos dá uma forma simplificada do termo geral da sequência.

Passo 5

Para mostrar que é convergente, vamos analisar o limite quando tende ao infinito. Usamos a fórmula de Wallis para sequências envolvendo , que nos diz que:
Embora nessa expressão apareça uma raiz, o importante é notar que o limite da nossa sequência tende a um valor finito.

Passo 6

Portanto, concluímos que:
Isso significa que a sequência é convergente e converge para 0.

Resposta

A sequência é convergente e seu limite é 0.

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