Verifique se as sequências abaixo convergem ou divergem. Se convergir, encontre seu limite: a_n = (1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1)) / (n + 1) - 1/2 - n;

Passo 1

Vamos lá! O problema pede para verificar se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, precisamos encontrar o limite. Para resolver isso, vamos usar conceitos de progressões aritméticas e limites de sequências.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a soma dos termos . Essa é uma progressão aritmética onde cada termo aumenta de 2, começando em 1.

Passo 3

Sabemos que a soma dos primeiros termos de uma progressão aritmética é dada por . Então, .

Passo 4

Substituindo essa soma na expressão da sequência:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a expressão:
Primeiro, simplificamos :
Então, a expressão fica:

Passo 6

Para encontrar o limite quando tende ao infinito, dividimos numerador e denominador por :
Portanto:

Resposta

A sequência converge para .

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