Verifique se as sequências abaixo convergem ou divergem. Se convergir, encontre seu limite:
;
Passo 1
Vamos lá! O problema pede para verificar se a sequência
converge ou diverge. Se ela convergir, precisamos encontrar o limite. Para resolver isso, vamos usar conceitos de progressões aritméticas e limites de sequências.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a soma dos termos
. Essa é uma progressão aritmética onde cada termo aumenta de 2, começando em 1.
Passo 3
Sabemos que a soma dos
primeiros termos de uma progressão aritmética é dada por
. Então,
.
Passo 4
Substituindo essa soma na expressão da sequência:
Passo 5
Agora, vamos simplificar a expressão:
Primeiro, simplificamos
:
Então, a expressão fica:
Passo 6
Para encontrar o limite quando
tende ao infinito, dividimos numerador e denominador por
:
Portanto:
Resposta
A sequência converge para
.