Considere a sequência de termo geral dado por
. Mostre que
é estritamente decrescente;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência definida por
. Nosso objetivo é mostrar que essa sequência é estritamente decrescente, ou seja, cada termo é menor que o anterior. Para isso, vamos usar conceitos de sequências e analisar como os termos se comportam conforme
aumenta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o que significa a sequência ser estritamente decrescente. Isso quer dizer que para todo
, temos
. Então, para provar isso, vamos comparar
com
.
Passo 3
Vamos escrever
em termos de
. Observando a fórmula da sequência:
Podemos expressar isso como:
Passo 4
Agora, queremos mostrar que
. Substituindo a expressão que encontramos:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
(que é positivo):
Passo 5
Vamos simplificar a desigualdade:
Subtraindo 1 dos dois lados:
Passo 6
Observamos que o numerador é
e o denominador
é sempre positivo para
. Portanto, a fração é sempre negativa:
Isso confirma que:
Resposta
Assim, mostramos que a sequência
é estritamente decrescente para todo
.