Considere a sequência de termo geral dado por a_n = (1 * 3 * 5 * 7 * ... * (2n - 1)) / (2 * 4 * 6 * ... * 2n). Mostre que a_n é estritamente decrescente;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência definida por . Nosso objetivo é mostrar que essa sequência é estritamente decrescente, ou seja, cada termo é menor que o anterior. Para isso, vamos usar conceitos de sequências e analisar como os termos se comportam conforme aumenta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o que significa a sequência ser estritamente decrescente. Isso quer dizer que para todo , temos . Então, para provar isso, vamos comparar com .

Passo 3

Vamos escrever em termos de . Observando a fórmula da sequência:
Podemos expressar isso como:

Passo 4

Agora, queremos mostrar que . Substituindo a expressão que encontramos:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por (que é positivo):

Passo 5

Vamos simplificar a desigualdade:
Subtraindo 1 dos dois lados:

Passo 6

Observamos que o numerador é e o denominador é sempre positivo para . Portanto, a fração é sempre negativa:
Isso confirma que:

Resposta

Assim, mostramos que a sequência é estritamente decrescente para todo .

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