Verifique se as sequências abaixo convergem ou divergem. Se convergir, encontre seu limite: a_n = (5^(n+1) + (-3)^(n+1)) / (5^(n+3) + (-3)^(n+3))

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a sequência converge ou diverge. Isso está ligado ao conteúdo de limites de sequências. Para resolver, vamos precisar entender como os termos com potências crescentes se comportam conforme aumenta.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar a análise. Podemos reescrever os termos com e da seguinte maneira:
Isso fica:

Passo 3

Agora, vamos fatorar no numerador e no denominador para identificar quais termos são mais significativos conforme cresce:

Passo 4

O próximo passo é analisar o comportamento dos termos e conforme tende ao infinito. Sabemos que cresce muito mais rápido que , já que a base 5 é maior que a base 3. Portanto, os termos com vão dominar a expressão à medida que aumenta.

Passo 5

Com isso, podemos aproximar a sequência considerando apenas os termos dominantes:

Resposta

A sequência converge e o seu limite é .

Exercícios relacionados