Verifique se as sequências abaixo convergem ou divergem. Se convergir, encontre seu limite:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a sequência
converge ou diverge. Isso está ligado ao conteúdo de limites de sequências. Para resolver, vamos precisar entender como os termos com potências crescentes se comportam conforme
aumenta.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar a análise. Podemos reescrever os termos com
e
da seguinte maneira:
Isso fica:
Passo 3
Agora, vamos fatorar
no numerador e no denominador para identificar quais termos são mais significativos conforme
cresce:
Passo 4
O próximo passo é analisar o comportamento dos termos
e
conforme
tende ao infinito. Sabemos que
cresce muito mais rápido que
, já que a base 5 é maior que a base 3. Portanto, os termos com
vão dominar a expressão à medida que
aumenta.
Passo 5
Com isso, podemos aproximar a sequência considerando apenas os termos dominantes:
Resposta
A sequência converge e o seu limite é
.