Determine se a sequência dada é monótona ou não monótona. (1 * 3 * 5 * ... * (2n - 1)) / (2^n * n!);

Passo 1

Então, a gente tem que descobrir se a sequência é monótona ou não monótona. Monótona significa que a sequência está sempre aumentando ou sempre diminuindo. Para resolver isso, vamos precisar entender como a sequência se comporta conforme aumenta.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência. O numerador é o produto dos primeiros números ímpares, que pode ser escrito como . O denominador é . Então, a sequência fica:

Passo 3

Agora, para analisar se a sequência é monótona, vamos calcular a razão entre termos consecutivos, ou seja, . Se essa razão for sempre maior que 1, a sequência é crescente. Se for sempre menor que 1, é decrescente.

Passo 4

Vamos calcular :

Passo 5

Simplificando a razão:
Como é positivo para todo , a razão é sempre menor que 1.

Passo 6

Como a razão entre termos consecutivos é menor que 1 para qualquer , isso significa que cada termo da sequência é menor que o anterior. Portanto, a sequência é decrescente.

Resposta

A sequência é monótona decrescente.

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