Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Esse exercício está na área de Cálculo de Limites, especialmente lidando com funções trigonométricas e o comportamento de funções conforme
vai para o infinito. Vamos precisar entender como as funções trigonométricas se comportam e comparar isso com o crescimento da raiz cúbica de
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o numerador
. Sabemos que a função
oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de
, então
vai oscilar entre -2 e 2. Já
é sempre positiva e varia entre 0 e 1, já que é o quadrado do seno. Portanto, o numerador total
vai oscilar entre -2 e 3.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o denominador
, que é a raiz cúbica de
. Conforme
cresce para o infinito,
também cresce, mas de forma mais lenta comparada a outras funções polinomiais. No entanto, o importante aqui é que
tende para infinito conforme
aumenta.
Passo 4
Para encontrar o limite, precisamos comparar o comportamento do numerador com o denominador quando
vai para o infinito. O numerador está limitado entre -2 e 3, ou seja, ele não cresce sem limite; já o denominador tende para infinito. Quando temos uma fração onde o numerador é limitado e o denominador cresce para infinito, o valor da fração tende para zero.