Considere a sequência de termo geral dado por
. Faça o que se pede:
Mostre que
é estritamente decrescente;
Mostre que
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: Temos uma sequência definida por
. Nosso objetivo é mostrar que essa sequência é estritamente decrescente, ou seja, cada termo é menor que o anterior. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma sequência ser decrescente e utilizar propriedades de frações e produtos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma sequência estritamente decrescente. Isso quer dizer que, para todo
, temos
. Então, nosso objetivo é provar que
.
Passo 3
Vamos simplificar a comparação dos termos
e
. Observe que:
Passo 4
Agora, precisamos mostrar que
. Simplificando a fração:
Como
é positivo, a expressão é realmente menor que 1.
Passo 5
Como
e
, então
. Portanto, cada termo da sequência é menor que o anterior.
Resposta
A sequência
é estritamente decrescente.
Exercícios relacionados
Considere a sequência de termo geral dado por
. Faça o que se pede:
Exprima em função de
;
Exprima
Verifique se as sequências abaixo convergem ou divergem. Se convergir, encontre seu limite:
;
Considere a sequência de termo geral dado por
. Faça o que se pede:
Mostre que ( ) é convergente.
Mostre que (
Use o Princípio da Superposição e os itens anteriores para encontrar a solução geral para