Use o Princípio da Superposição e os itens anteriores para encontrar a solução geral para
Passo 1
Vamos começar resumindo o enunciado: temos uma equação diferencial de segunda ordem dada por
O objetivo é encontrar a solução geral dessa equação usando o Princípio da Superposição. Para isso, vamos precisar resolver a equação homogênea associada e encontrar soluções particulares para cada termo do lado direito da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para resolver essa equação, assumimos uma solução da forma
, onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 3
Substituindo
na equação homogênea, obtemos:
Dividindo ambos os lados por
(que nunca é zero), temos a equação característica:
Passo 4
Resolvendo a equação característica:
Podemos fatorar:
Assim, temos uma raiz real dupla:
Passo 5
Como a raiz é dupla, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, precisamos encontrar soluções particulares para os termos do lado direito da equação original:
e
.
Vamos tratar cada termo separadamente e depois somar as soluções particulares, conforme o Princípio da Superposição.
Passo 7
Primeiro, encontramos a solução particular para
.
Como este é um polinômio de grau 2, assumimos uma solução particular da forma:
onde
,
e
são constantes a determinar.
Passo 8
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação diferencial:
Simplificando:
Passo 9
Igualando os coeficientes:
Para
:
Para
:
Para o termo constante:
Passo 10
Assim, a solução particular para
é:
Passo 11
Agora, encontramos a solução particular para
.
Este termo é um pouco mais complexo e normalmente requer o uso do método de Variação dos Parâmetros. Porém, para simplificar, assumiremos uma solução da forma:
onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 12
Calculando as derivadas de
:
Substituindo na equação diferencial:
Simplificando:
Cancelando termos semelhantes:
Passo 13
Igualando os coeficientes:
No entanto, isso implica que
depende de
, o que não é possível. Portanto, nossa suposição inicial está inadequada.
Passo 14
Diante disso, precisamos utilizar o método de Variação dos Parâmetros para encontrar a solução particular para
.
As soluções da equação homogênea são
e
.
Passo 15
As fórmulas para Variação dos Parâmetros são:
onde
e
é o Wronskiano dado por:
Passo 16
Calculando o Wronskiano:
Então,
Passo 17
Agora, substituindo na fórmula de Variação dos Parâmetros:
Simplificando:
Como estamos procurando uma solução particular, ignoramos a constante de integração
.
Passo 18
Portanto, a solução particular para
é:
Passo 19
Finalmente, aplicando o Princípio da Superposição, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e das soluções particulares encontradas:
Substituindo:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Considere a sequência de termo geral dado por
. Faça o que se pede:
Mostre que ( ) é convergente.
Mostre que (
Considere a sequência de termo geral dado por
. Faça o que se pede:
Mostre que é estritamente decrescente;
Mostre que
Use o Princípio da Superposição e os itens anteriores para encontrar a solução geral para
Determine se o conjunto dado é ou não: (a) aberto, (b) conexo e © simplesmente conexo.