Use o Princípio da Superposição e os itens anteriores para encontrar a solução geral para

Passo 1

Vamos começar resumindo o enunciado: temos uma equação diferencial de segunda ordem dada por
O objetivo é encontrar a solução geral dessa equação usando o Princípio da Superposição. Para isso, vamos precisar resolver a equação homogênea associada e encontrar soluções particulares para cada termo do lado direito da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para resolver essa equação, assumimos uma solução da forma , onde é uma constante a ser determinada.

Passo 3

Substituindo na equação homogênea, obtemos:
Dividindo ambos os lados por (que nunca é zero), temos a equação característica:

Passo 4

Resolvendo a equação característica:
Podemos fatorar:
Assim, temos uma raiz real dupla:

Passo 5

Como a raiz é dupla, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, precisamos encontrar soluções particulares para os termos do lado direito da equação original: e .
Vamos tratar cada termo separadamente e depois somar as soluções particulares, conforme o Princípio da Superposição.

Passo 7

Primeiro, encontramos a solução particular para .
Como este é um polinômio de grau 2, assumimos uma solução particular da forma:
onde , e são constantes a determinar.

Passo 8

Calculando as derivadas:
Substituindo na equação diferencial:
Simplificando:

Passo 9

Igualando os coeficientes:
Para :
Para :
Para o termo constante:

Passo 10

Assim, a solução particular para é:

Passo 11

Agora, encontramos a solução particular para .
Este termo é um pouco mais complexo e normalmente requer o uso do método de Variação dos Parâmetros. Porém, para simplificar, assumiremos uma solução da forma:
onde é uma constante a ser determinada.

Passo 12

Calculando as derivadas de :
Substituindo na equação diferencial:
Simplificando:
Cancelando termos semelhantes:

Passo 13

Igualando os coeficientes:
No entanto, isso implica que depende de , o que não é possível. Portanto, nossa suposição inicial está inadequada.

Passo 14

Diante disso, precisamos utilizar o método de Variação dos Parâmetros para encontrar a solução particular para .
As soluções da equação homogênea são e .

Passo 15

As fórmulas para Variação dos Parâmetros são:
onde e é o Wronskiano dado por:

Passo 16

Calculando o Wronskiano:
Então,

Passo 17

Agora, substituindo na fórmula de Variação dos Parâmetros:
Simplificando:
Como estamos procurando uma solução particular, ignoramos a constante de integração .

Passo 18

Portanto, a solução particular para é:

Passo 19

Finalmente, aplicando o Princípio da Superposição, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e das soluções particulares encontradas:
Substituindo:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
onde e são constantes arbitrárias.

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