Considere a sequência de termo geral dado por . Faça o que se pede:
Mostre que ( ) é convergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício passa por uma sequência definida por . O que a gente precisa mostrar é que essa sequência é convergente, ou seja, que ela se aproxima de um valor específico à medida que cresce. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e propriedades de sequências.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência. Note que o numerador é o produto de números ímpares até e o denominador é o produto de números pares até . Podemos reescrever isso usando fatoriais:
Aqui, é o fatorial de e é o fatorial de .

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento de quando tende ao infinito. Para isso, usamos uma fórmula famosa chamada Fórmula de Stirling, que aproxima o fatorial de um número grande:
Aplicando essa aproximação ao nosso , temos:

Passo 4

Observando a expressão , fica claro que, conforme aumenta, o valor de diminui e se aproxima de zero. Isso significa que a sequência está convergindo para zero.

Resposta

A sequência é convergente e seu limite é 0.

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