Considere a sequência de termo geral dado por
. Faça o que se pede:
Mostre que (
) é convergente.
Mostre que (
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício passa por uma sequência definida por
. O que a gente precisa mostrar é que essa sequência é convergente, ou seja, que ela se aproxima de um valor específico à medida que
cresce. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e propriedades de sequências.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência. Note que o numerador é o produto de números ímpares até
e o denominador é o produto de números pares até
. Podemos reescrever isso usando fatoriais:
Aqui,
é o fatorial de
e
é o fatorial de
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento de
quando
tende ao infinito. Para isso, usamos uma fórmula famosa chamada Fórmula de Stirling, que aproxima o fatorial de um número grande:
Aplicando essa aproximação ao nosso
, temos:
Passo 4
Observando a expressão
, fica claro que, conforme
aumenta, o valor de
diminui e se aproxima de zero. Isso significa que a sequência está convergindo para zero.
Resposta
A sequência
é convergente e seu limite é 0.
Exercícios relacionados
Considere a sequência de termo geral dado por
. Faça o que se pede:
Mostre que é estritamente decrescente;
Mostre que
Considere a sequência de termo geral dado por
. Faça o que se pede:
Exprima em função de
;
Exprima
Use o Princípio da Superposição e os itens anteriores para encontrar a solução geral para
Use o Princípio da Superposição e os itens anteriores para encontrar a solução geral para