Verifique se as sequências abaixo convergem ou divergem. Se convergir, encontre seu limite:
;
Passo 1
Vamos analisar a sequência
para verificar se ela converge ou diverge. Para isso, vamos utilizar conceitos de limites de sequências e analisar o comportamento dos termos conforme
aumenta.
Passo 2
Primeiro, observamos que a sequência possui um fator
, que alterna o sinal dos termos conforme
aumenta. Isso indica que a sequência é alternada, ou seja, os termos mudam de sinal a cada passo.
Passo 3
Agora, vamos analisar o termo
. À medida que
tende ao infinito, tanto o numerador quanto o denominador aumentam, mas o denominador sempre será um a mais que o numerador. Podemos simplificar esse termo dividindo o numerador e o denominador por
:
Conforme
tende ao infinito,
tende a zero, então:
Passo 4
Voltando à sequência original, temos:
Como vimos que
tende a 1, podemos reescrever a sequência como:
Isso significa que, à medida que
aumenta, a sequência alterna entre
e
.
Passo 5
Finalmente, para que uma sequência convirja, seus termos precisam se aproximar de um único valor à medida que
tende ao infinito. No entanto, nossa sequência
está sempre alternando entre valores próximos a
e
, sem se estabilizar em um único número.
Resposta
A sequência diverge.
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Qual das seguintes expressões representa o termo geral da seqüência
?
( )
( )
Dê o termo de ordem
das sequências abaixo e verifique quais sequências convergem. As convergentes, dê o limite. Escreva também o termo de ordem
.
Considere a sequência de termo geral dado por
. Faça o que se pede:
Exprima em função de
;
Exprima
Considere a sequência de termo geral dado por
. Faça o que se pede:
Mostre que é estritamente decrescente;
Mostre que