Use o Princípio da Superposição e os itens anteriores para encontrar a solução geral para

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Isso está relacionado ao estudo de equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver, vamos usar o Princípio da Superposição, que nos permite combinar soluções de partes diferentes da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Resolver a equação homogênea é essencial porque qualquer solução geral será uma combinação da solução homogênea com uma solução particular da equação completa.

Passo 3

Para resolver , encontramos a equação característica:
Fatorando, temos:
Então, as raízes são e .

Passo 4

Com as raízes e , a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Vamos lidar com os termos do lado direito separadamente.

Passo 6

Primeiro, para o termo constante , supomos uma solução particular da forma , onde é uma constante. Substituindo na equação:
Isso não funciona, então tentamos . Derivando:
Substituindo:
Então, .

Passo 7

Agora, para o termo , supomos uma solução particular da forma . Calculamos as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Comparando os coeficientes:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira:
Isso não funciona, então ajustamos nossa suposição para .

Passo 8

Derivando:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Comparando os coeficientes:
Então, .

Passo 9

Finalmente, combinamos as soluções encontradas:

Resposta

A solução geral é , onde e são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados

Use o Princípio da Superposição e os itens anteriores para encontrar a solução geral para
Considere a sequência de termo geral dado por . Faça o que se pede:
Mostre que ( ) é convergente.
Determine se o conjunto dado é ou não: (a) aberto, (b) conexo e © simplesmente conexo.
Determine uma função tal que e use a parte (a) para calcular sobre a curva dada.
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