Use o Princípio da Superposição e os itens anteriores para encontrar a solução geral para
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Isso está relacionado ao estudo de equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver, vamos usar o Princípio da Superposição, que nos permite combinar soluções de partes diferentes da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Resolver a equação homogênea é essencial porque qualquer solução geral será uma combinação da solução homogênea com uma solução particular da equação completa.
Passo 3
Para resolver
, encontramos a equação característica:
Fatorando, temos:
Então, as raízes são
e
.
Passo 4
Com as raízes
e
, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa
. Vamos lidar com os termos do lado direito separadamente.
Passo 6
Primeiro, para o termo constante
, supomos uma solução particular da forma
, onde
é uma constante. Substituindo na equação:
Isso não funciona, então tentamos
. Derivando:
Substituindo:
Então,
.
Passo 7
Agora, para o termo
, supomos uma solução particular da forma
. Calculamos as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Comparando os coeficientes:
Da segunda equação,
. Substituindo na primeira:
Isso não funciona, então ajustamos nossa suposição para
.
Passo 8
Derivando:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Comparando os coeficientes:
Então,
.
Passo 9
Finalmente, combinamos as soluções encontradas:
Resposta
A solução geral é
, onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Use o Princípio da Superposição e os itens anteriores para encontrar a solução geral para
Considere a sequência de termo geral dado por
. Faça o que se pede:
Mostre que ( ) é convergente.
Mostre que (
Determine se o conjunto dado é ou não: (a) aberto, (b) conexo e © simplesmente conexo.
Determine uma função
tal que
e use a parte (a) para calcular
sobre a curva
dada.
,