Considere a série
Ainda não
respondida
Vale 0,50 ponto(s).
sumn=1^+infty an=sumn=1^+infty 1n(n+1)
e as seguintes afirmações:
A) Trata-se de uma série telescópica.
B) É uma série divergente.
C)
sumn=1^+infty 1n(n+1)=1
D) Vale
an=bn-bn+1, n >= 1
Podemos afirmar.
Escolha uma opção:
a. Todas as afirmações estão incorretas.
b. Apenas B está correta.
c. Todas as afirmações estão corretas.
d. A, C e D estão corretas.
  • Avenida Rui Braga, S/No, Vila Mauricéia - Campus Universitário Professor Darcy Ribeiro, Prédio 7 (1 andar) - Montes Claros / MG - CEP 39.401-089.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar a série infinita:
sumn=1^+infty 1n(n+1)
Além disso, temos quatro afirmações (A, B, C e D) sobre essa série e precisamos dizer quais estão corretas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma série telescópica, verificar se a série converge ou diverge, calcular o valor da soma da série e identificar se o termo geral pode ser escrito como diferença de termos consecutivos. Vamos usar conhecimentos de séries infinitas e manipulação algébrica.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se a série é telescópica. Uma série telescópica é aquela em que os termos se cancelam de forma que a soma parcial simplifica bastante, geralmente deixando apenas alguns termos.

Passo 3

Vamos reescrever o termo geral da série de uma forma que mostre se ela é telescópica. Observamos que:
1n(n+1) = 1n - 1n+1
Isso é uma técnica de frações parciais, onde decompomos uma fração em duas partes mais simples. Aqui, conseguimos expressar cada termo da série como a diferença de dois termos consecutivos.

Passo 4

Agora, reescrevemos a série usando essa decomposição:
sumn=1^+infty ( 1n - 1n+1 )
Vamos somar os primeiros termos para ver como eles se comportam:
(1 - 12) + (12 - 13) + (13 - 14) + dots
Você pode notar que quase todos os termos se cancelam, restando apenas o primeiro e o último termo da soma parcial. Esse é o comportamento típico de uma série telescópica.

Passo 5

Para encontrar a soma da série, consideramos o limite da soma parcial quando o número de termos tende ao infinito:
limN to +infty (1 - 1N+1) = 1
Portanto, a série converge e sua soma é igual a 1.

Passo 6

Agora, vamos analisar as afirmações:
  • A) Trata-se de uma série telescópica.
    Correta, já que reescrevemos a série de forma que os termos se cancelam.
  • B) É uma série divergente.
    Incorreta, porque demonstramos que a série converge para 1.
  • C)
    sumn=1^+infty 1n(n+1)=1
    Correta, como calculamos na soma.
  • D)
    an=bn-bn+1, n >= 1
    Correta, pois conseguimos expressar o termo geral dessa forma com bn = 1n.

Resposta

d. A, C e D estão corretas.

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