Considere a série
Ainda não
respondida
Vale 0,50 ponto(s).
e as seguintes afirmações:
A) Trata-se de uma série telescópica.
B) É uma série divergente.
C)
D) Vale
Podemos afirmar.
Escolha uma opção:
a. Todas as afirmações estão incorretas.
b. Apenas B está correta.
c. Todas as afirmações estão corretas.
d. A, C e D estão corretas.
- Avenida Rui Braga, S/No, Vila Mauricéia - Campus Universitário Professor Darcy Ribeiro, Prédio 7 (1 andar) - Montes Claros / MG - CEP 39.401-089.
Ainda não
respondida
Vale 0,50 ponto(s).
A) Trata-se de uma série telescópica.
B) É uma série divergente.
C)
Escolha uma opção:
a. Todas as afirmações estão incorretas.
b. Apenas B está correta.
c. Todas as afirmações estão corretas.
d. A, C e D estão corretas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar a série infinita:
Além disso, temos quatro afirmações (A, B, C e D) sobre essa série e precisamos dizer quais estão corretas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma série telescópica, verificar se a série converge ou diverge, calcular o valor da soma da série e identificar se o termo geral pode ser escrito como diferença de termos consecutivos. Vamos usar conhecimentos de séries infinitas e manipulação algébrica.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar se a série é telescópica. Uma série telescópica é aquela em que os termos se cancelam de forma que a soma parcial simplifica bastante, geralmente deixando apenas alguns termos.
Passo 3
Vamos reescrever o termo geral da série de uma forma que mostre se ela é telescópica. Observamos que:
Isso é uma técnica de frações parciais, onde decompomos uma fração em duas partes mais simples. Aqui, conseguimos expressar cada termo da série como a diferença de dois termos consecutivos.
Passo 4
Agora, reescrevemos a série usando essa decomposição:
Vamos somar os primeiros termos para ver como eles se comportam:
Você pode notar que quase todos os termos se cancelam, restando apenas o primeiro e o último termo da soma parcial. Esse é o comportamento típico de uma série telescópica.
Passo 5
Para encontrar a soma da série, consideramos o limite da soma parcial quando o número de termos tende ao infinito:
Portanto, a série converge e sua soma é igual a 1.
Passo 6
Agora, vamos analisar as afirmações:
-
A) Trata-se de uma série telescópica.
Correta, já que reescrevemos a série de forma que os termos se cancelam. -
B) É uma série divergente.
Incorreta, porque demonstramos que a série converge para 1. -
C)Correta, como calculamos na soma.
-
D)Correta, pois conseguimos expressar o termo geral dessa forma com
.
Resposta
d. A, C e D estão corretas.